1、向量数乘运算及其几何意义,人教A版必修42.2.3,课堂导入： 我们已经知道两实数乘积的意义，以及实数乘法运算满足结合律、分配律等运算律，那么实数与向量是否可以相乘？在本节我们就来讨论这个问题,一、向量的数乘,实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.,规定：aa；当0，时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0,提示：（1）向量的数乘是实数与向量的乘法运算法则，具有明显的集合意义，它是一个合理的规定（2）由向量的数乘概念可知，向量a与a向量相同或相反，所以这两个向量是共线向量把a的模伸长（当1时）或缩短（当1）时，到它的倍，就是a的模（3）当0
2、时，有a0；当0时，而a0时，也有a0的充要条件是0或a0（4）实数与向量可以相乘，但不能进行加减运算，如+a， a-是没有意义的,典例剖析,例1 证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半,规律：对于两个共线向量，只要能够确定它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化,变式训练 如下图，在平行四边形ABCD 的对角线DB 的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使BEDF，求证:四边形AECF 是平行四边形,二、向量的数乘运算律,设a、b为任意向量，、为实数则(a)()a；(+)aa+a；(a+b）a+
3、b,注：（1）向量的数乘运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等式左右两边的运算结果都是向量，但运算次序不同（2）特别地，有（-)a-（a）（-a）；（a-b）a-b（3）上述运算律是在向量的数乘概念下推导出来的结论，而不是规定.（4）向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，且对任意向量a、b，以及任意实数 ，都有（ a b ） a + b ,典例剖析,规律:关于实数与向量的积得有关运算，只需把向量符号a、b、c等，看做一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行即可其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项,变式训练,三、向量共线定理,如果a（a0）与b共线，那么有且只有一个实数，使ba.
4、,疑难解析： （1）向量共线定理，是由向量数乘的定义得出的，事实上，如果a（a0）与b共线，且向量b的模是向量a的模的倍，则ba，那么，当a与b同向时，有ba；当a与b反向时，有b-a，从而ba（2）对于向量a（a0）、b，如果有一个实数使ba，则由向量数乘定义知a与b共线所以向量共线定理的逆命题也成立（3）定理中a0是前提条件，如果a0，则a0，当b为非零向量时，a与b共线，但是ba，定理不成立当b0时，ba，但可以取任意实数（4）如果ba，则a与b共线，这是向量共线定理的变通，其中，是两个不同时为零的实数事实上，若0，则a0，显然a与b共线；若0，则ba，从而a与b共线,典例剖析 例3 如
5、下图，在平行四边形ABCD 中，M 是AB的中点，点N在对角线BD上，且BD3BN求证：M、N、C三点共线,规律:利用向量共线定理证明三点共线，是一种十分有效的方法由三个点可得三个方向相同的向量，只要证明其中任意两个向量共线，就可得出三点共线通过向量的几何、代数运算，找出两个向量的数乘关系，是解题的主体，通过中间向量（如本例中的a、b）沟通两个向量的共线关系，是解题的一个技巧,变式训练 ,复习：,1.实数与向量a的积是一个向量，记作 2.a 3.当 时，a与a方向相同；0时，a与a方向 ；当 时，a0（a0）4.实数与向量的积的运算律中，结合律是 ，它的几何意义是：,a,0,相反,0,（ a ）（a）,将表示向量a的有向线段先伸长或压缩倍，在伸长或压缩倍与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩倍所得结果相同 .,5.第一分配律是 ，6.第二分配律是 ，7.向量b与非零向量a共线的等价条件是 8.向量线性运算是指向量的 运算9.与非零向量a共线的单位向量是 ,(+)aa+a,(a+b)a+b,存在唯一实数,使ba,加、减、数乘,总结,实数与向量的积,定义,实数与向量的积满足的运算律,向量b与非零向量a共线的充要条件,
