1、二用数学归纳法证明不等式举例,1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.2.会用数学归纳法证明不等式.,1.观察、归纳、猜想、证明的方法剖析:这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手,得到一个结论,但这个结论不一定正确,因为这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出一定的逻辑证明,所以,通过观察、分析、归纳、猜想,探索一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了.在观察与归纳时,n的取值不能太少,否则将得出错误的结论.前几项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性
2、,因而,要从多个特殊事例上探索一般结论.,2.从“n=k”到“n=k+1”的方法与技巧剖析:在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需要通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.,题型一,题型二,题
3、型三,题型四,分析:先通过n取比较小的值进行归纳猜想,确定证明方向,再用数学归纳法证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,当n=1时,21=212=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=852=25,当n=6时,26=6462=36.故猜测当n5(nN+)时,2nn2,题型一,题型二,题型三,题型四,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2nn2显然成立.(2)假设当n=k(k5,且kN+)时,不等式2nn2成立,即2kk2(k5),则当n=k+1时,2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).由(
4、1)(2)可知,对一切n5,nN+,2nn2成立.综上所述,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向.再用数学归纳法证明结论成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列an(nN+)满足a1=a(a0),f(an+1)=g(an),证明:存在常数M,使得对于任意的nN+,都有anM.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)求数列an的通项公式;(2
5、)求证:对一切正整数n,不等式a1a2anQn.若x=0,则Pn=Qn.若x(-1,0),则P3-Q3=x30,所以P3Q3.,题型一,题型二,题型三,题型四,P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4.假设当n=k(k3,kN+)时,有PkQk(k3),则当n=k+1时,Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk即当n=k+1时,不等式成立.所以当n3,且x(-1,0)时,PnQn.反思本题中,n的取值会影响Pn与Qn的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式对一切n2,nN+均成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,
