1、二特征向量的应用,1.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An的简单的表示,并能用它来解决问题.2.会利用特征向量解决简单的实际问题.,1.设二阶矩阵A的两个特征值1,2对应的两个特征向量分别为1,2,为二阶矩阵A对应的线性变换,为平面内的任意一个向量,那么An(nN*)能否用1和2表示出来呢?剖析:因为1,2是二阶矩阵A的两个特征向量,所以1,2不共线,则平面内的任意一个向量就可以用1,2表示出来,即存在实数t1,t2使得=t11+t22,A1=11,A2=22.所以 =A=A(t11+t22)=t1(A1)+t2(A2)=t111+t222,2=A2=A(A)=A(t111+t222)=t11
2、(A1)+t22(A2),2.求An的基本步骤是什么?剖析:第一步:由特征向量的定义A=,求出特征值和相应的特征向量;第二步:把向量改写为用1和2表示,即=t11+t22;第三步:由性质公式计算,题型一,题型二,题型一,题型二,题型一,题型二,反思利用特征值和特征向量的知识,可以方便地计算多次变换的结果.,题型一,题型二,【例2】 当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3
3、)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.这样,兔子和狐狸的生态模型为试用矩阵知识求出Rn,Fn关于n的关系式,并讨论当n越来越大时,兔子和狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态?,题型一,题型二,分析:根据已知条件首先要转化为向量表示及其矩阵形式表示,其次求出矩阵的特征值及其特征向量,最后解答.,题型一,题型二,和Fn分别趋向常量210和140,即随着时间的增加,兔子和狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态.,题型一,题型二,反思解决实际问题时,需要先从题目中提炼出信息,本题转为矩阵表示,用矩阵及特征向量表示解答问题.,
