1、1.1.3导数的几何意义,1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.,名师点拨如图,函数f(x)在区间x0,x0+x上的平均变化率的几何意义是割线PQ的斜率,当点Q沿曲线y=f(x)趋近于点P时(即x趋近于0),割线PQ绕点P转动,它的最终位置为曲线在点P处的切线位置直线PT.,【做一做1-1】 若f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴斜交解析:由导数的几何意义知,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率为0,故选B.答案:B,【做一
2、做2-2】 若曲线f(x)的导函数为f(x)=2x+3,则f(3)等于()A.0B.2C.3D.9答案:D,【做一做2-1】 函数在某一点处的导数是()A.在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比B.一个函数C.一个常数,不是变数D.函数在这一点与它附近一点之间的平均变化率解析:根据函数在一点处的导数的定义,可知选C.答案:C,2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的直线是切线”的区别是什么?剖析:在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时,我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切线:当直
3、线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这种推广是不妥当的.,观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.解决这类题,先求出函数y=f(x)在已知点处的导数即曲线在该点处切线的斜率,再由直线的点斜式方程便可求出切线方程.2.导数的几何意义中所说的点应在曲线上,否则函数在该点处的导数不是斜率.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1
4、】 已知曲线C:f(x)=2x2+1,求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,求切点坐标【例2】 已知抛物线y=f(x)=3x2+7,求:(1)在抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45?(2)在抛物线上哪一点处的切线平行于直线6x-y-2=0?(3)在抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+12y-3=0?分析:设点的坐标求出在该点处的导数利用条件建立方程求出点的坐标,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,所以切线的斜率为6,即f(x0)=6x0=6,得x0=
5、1.所以该点的坐标为(1,10).(3)因为切线与直线x+12y-3=0垂直,所以切线的斜率为12,即f(x0)=6x0=12,得x0=2.所以该点的坐标为(2,19).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解答此类题目,所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键,由这些信息可知函数在所求点处的导数,进而可求得此点的横坐标.具体的解题步骤为:(1)先设切点坐标为(x0,y0);(2)求导函数f(x);(3)求切线的斜率;(4)由斜率与导数间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)切点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入曲线方程求得切点坐标.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变
6、式训练2】 求曲线y=f(x)=x3在哪一点处的切线,(1)平行于直线y=3x-5?(2)垂直于直线x+6y+5=0?(3)倾斜角为45?分析:本题主要考查导数的几何意义和两条直线平行、垂直的条件.解题的关键是设出切点的坐标,求出切线的斜率.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,导数几何意义的综合应用【例3】 设曲线f(x)=x2+1和g(x)=x3+x在其交点处的两条切线的夹角为,求cos .分析:本题考查了导数几何意义的综合应用,解决本题的关键是求出两条切线的方向向量,要求cos 的值,必须先求出两条曲线的交点,再利用导数分别求出在交点处的切线的斜率,通过向量的
7、数量积可求得cos .,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思导数几何意义的综合应用,主要是根据函数y=f(x)在x=x0处的导数即曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程,再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围、直线的方向向量等关系求解相关问题.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析:在求切线方程时,一定要注意是求过某一点的切线方程还是求在某点处的切线方程.前者可能会有多个结果,而后者通常只有一个结果.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求在某点处的切线,该点就是切点,因此可直接求出切线斜率(该点处导数的值),写出切线方程.2.求过某点的切线,要注意该点不一定是切点.因此,在解题时先设出切点,再求出切线斜率(该点处导数的值),根据切点与斜率写出切线方程,最后再将该点坐标代入.在解题过程中不必考虑该点是否为切点.,
