1、第一讲相似三角形的判定及有关性质,一平行线等分线段定理,1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言及变式图形.2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进行简单的证明或计算.3.会用三角形中位线定理解决问题.,平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析:(1)推论1,如图,在ABC中,B为AB的中点,过点B作BCBC交AC于点C,求证:点C是AC的中点.,证明:如图,过点A作直线aBC,BCBC,aBCBC.AB=BB,AC=CC,即点C是AC的中点.(2)推论2,如图,已知在梯形ACCA中,AACC,B是AC的中点,过点B作BBCC交AC于点B,求证:点B是AC的中
2、点.证明:如图,AACC,BBCC,AABBCC.AB=BC,AB=BC,即点B是AC的中点.,题型一,题型二,题型三,【例1】 如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明.分析:利用平行线等分线段定理来作图.作法:如图,(1)作射线AC;(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5;(3)连接D5B;(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.,题型一,题型二,题型三,证明:过点A作MND5B.则MND4A4D
3、3A3D2A2D1A1D5B.AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:(1)作射线AC(与AB不共线);(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1=D1D2=D2D3=Dn-1Dn;(3)连接DnB;(4)分别过点D1,D2,D3,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点A1,A2,An-2,An-1,则点A1,A2,An-2,An-1将线段AB分成n等份.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 如图,已知线段AB,请用平行线
4、等分线段定理将线段AB分成两部分,且两部分之比为23.解:已知:线段AB.求作:线段AB上一点O,使AOOB=23.作法:(1)如图,作射线AC.(2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH.(3)连接BH.(4)过点E作EOHB,交AB于点O,则点O为所求的点.,题型一,题型二,题型三,【例2】 如图,已知ACAB,DBAB,O是CD的中点.求证:OA=OB.分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需证明点O在AB的垂直平分线上即可.证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图.ACAB,DBAB,OEACDB.O为CD的中点,E为AB的中点.又OEAB,OA=OB.反思证明
5、两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD中,ADBC,ABC=90,M是CD的中点.求证:AM=BM.证明:如图,过点M作MEBC交AB于点E,ADBC,ADEMBC.M是CD的中点,E是AB的中点.ABC=90,MEA=MEB=90,ME垂直平分AB.AM=BM.,题型一,题型二,题型三,【例3】 如图,在梯形ABCD中,ABDC,E为AD的中点,EFBC.求证:BC=2EF.分析:由于EFBC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角形中位线定理,过点A作BC的
6、平行线即可证明.,题型一,题型二,题型三,证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.ABDC,四边形ABCG是平行四边形.AGBC.EFBC,EFAG.E为AD的中点,F是DG的中点.反思1.如果在三角形中出现中点,那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题.2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线即可.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 求证:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.证明:已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.证明:连接AC.AH=HD,DG=GC,HGEF.四边形EFGH是平行四边形.,
