1、成才之路数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 选修2-1,空间向量与立体几何,第三章,3.1空间向量及其运算,第三章,3.1.3两个向量的数量积,第三章,课前自主预习,方法警示探究,课堂典例讲练,易错疑难辨析,课后强化作业,思想方法技巧,我们知道两条不同线路的高压输电线间的位置关系是异面直线，因此在架设不同的高压输电线路时，工程师要计算这些异面直线的夹角，而计算异面直线的夹角的方法之一便是用空间向量的数量积，也就是今天我们要学习的内容.,ab,非零,AOB,0,名师点拨：两个向量同向时，其夹角为0；反向时，其夹角为.,2异面直线(1)定义：不同在_平面内的两条直线；(2)两条异面直线
2、所成的角：把异面直线_一个平面内，这时两条直线的夹角_叫做两条异面直线所成的角；如果所成的角是_，则称两条异面直线互相垂直,直角,任何一个,平移到,锐角或直角,名师点拨：对异面直线定义的理解需注意的问题：“不同在一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线,3向量的数量积已知空间两个向量a，b，则|a|b|cos叫做两个空间向量a，b的_(或_)，记作ab，即ab_.4空间向量数量积的性质(1)ae|a|cos(e为单位向量)；(2)ab_；(3)|a|2_；(4)|ab
3、|_.,数量积,内积,|a|b|cos,ab0,aa,|a|b|,名师点拨：两个向量的数量积的性质的作用：性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直性质(3)主要用于计算向量的模性质(4)主要用于不等式的证明,5两个空间向量的数量积满足的运算律(1)(a)b_；(2)ab_(交换律)；(3)(ab)cacbc(分配律),(ab),ba,答案B解析由向量夹角定义知选B.,分析结合图形，利用空间向量的夹角定义求,下列命题是否正确？正确的给出证明，不正确的给出理由(1)ab0，则a0或b0；(2)p2q2(pq)2；(3)|pq|pq|p2q2|；(4)若a与(ab
4、)c(ac)b均不为0，则它们垂直思路分析只需考虑数量积的概念与性质,求向量的数量积的概念与性质,解析(1)此命题不正确ab0有两种情况：当a，b均不为零向量时，则a与b垂直，此时ab0；当a与b至少有一个为0向量时，ab0也成立，故由ab0，推不出a0或b0.,(2)此命题不正确p2q2|p2|q|2，而(pq)2(|p|q|cos)2|p|2|q|2cos2，仅当pq时，p2q2(pq)2.(3)此命题不正确|p2q2|(pq)(pq)|pq|pq|cos|，当且仅当(pq)(pq)时，|p2q2|pq|pq|.,(4)正确a(ab)c(ac)ba(ab)ca(ac)b(ab)(ac)(a
5、b)(ac)0，两向量均为非零向量，故a与(ab)c(ac)b垂直,方法总结关于向量数量积的概念题，弄清其实质是关键，两个向量的数量积是一个数量，它等于两向量模与其夹角余弦值的乘积，两向量数量积有正也有负也可为0.当两向量垂直时其数量积为零,答案C,如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角,向量的夹角,方法总结求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示,已知：如图在空间四边形OABC中，OABC，OBAC，求证：OCAB.,处理垂直问题,方法总结证明两直线垂直可转化为证明两直线的方向向量
6、垂直，即证两向量数量积为零本例中所用两种方法均是利用已知条件构造两向量数量积形式，证明其数量积等于0，从而使问题得证,(1)如图，已知ABC在平面内，CAB90，DA平面，则直线CA与DB的位置关系是_,(2)已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.,利用空间向量求长度,(1)如图，已知直线AB平面，BC，BCCD，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，则A，D两点间的距离为_,(2)如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离,错解错因分析误认为异面直线上的两个向量的夹角等于异面直线所成的角正解,分类讨论思想 如图，异面直线a，b所成的角为60，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使ABa，ABb(直线AB称为异面直线a，b的公垂线)，若AE4，BF3，EF7，试求公垂线段AB的长,
