1、1,2,3,1.向量的数量积(1)向量的数量积:已知两个非零向量a和b,它们的夹角是,我们把数量|a|b|cos 叫做向量a和b的数量积(或内积)记作ab,即ab=|a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角:对于两个非零向量a和b,作 则AOB=叫做向量a与b的夹角.其范围是0180,当=0时,a与b同向,ab=|a|b|;当=180时,a与b反向,ab=-|a|b|;当=90时,称向量a与b垂直,记作ab.,1,2,3,1,2,3,(2)向量数量积的运算律:已知向量a,b,c和实数.ab=ba;(a)b=a(b)=(ab)=ab;(a+b)c=ac+bc.,交
2、流2对于向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc)一定成立吗?提示不一定成立.因为若(ab)c0,其方向与c相同或相反,而a(bc)0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立.,1,2,3,3.向量数量积的几何意义(1)向量b在a方向上的投影:设a,b是两个非零向量,|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,它是数量.当为锐角时,投影为正值.当为钝角时,投影为负值;当=90时,投影为0.(2)数量积ab的几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积.交流3下列说法正确的是.ab=0a=0或b=0;aba在b上的投影为|a|;abab=
3、(ab)2;ac=bca=b.提示,典例导学,即时检测,一,二,三,一、平面向量的数量积及几何意义已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120.(1)求ab;(2)求a在b上的投影.思路分析已知向量a,b的模及其夹角,求ab及a在b上的投影,解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中不是真命题的是()A.|ab|=|a|b|abB.a,b反向ab=-|a|b|C.ab|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|ac|=|bc|答案:D,典例导学,即时检测,一,二,三,解析:ab=|a|b|cos ,由|ab
4、|=|a|b|及a,b为非零向量可得|cos |=1.=0或.ab,且以上各步均可逆,故A是真命题.若a,b反向,则a,b的夹角为,ab=|a|b|cos =-|a|b|,且以上各步均可逆,故B是真命题.当ab时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,故有ab,因此C是真命题.当|a|=|b|,但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|ac|bc|,反过来由|ac|=|bc|也推不出|a|=|b|,故D是假命题.,典例导学,即时
5、检测,一,二,三,2.已知|a|=3,|b|=5,且其夹角=45,则向量a在向量b上的投影为.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.数量积的符号同夹角的关系:(1)若ab0为锐角或零角;(3)若ab0为钝角或平角.2.平面向量数量积的求法:(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab=|a|b|cos .(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量积的几何意义求ab.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、平面向量数量积的运算已知|a|=4,|b|=5,且a与b夹角为60,求值:(1)a2-b2;(2)(2a+3b)(3a-2b).思路分析充分利用条件及数量积的定义、性质即可
6、求解.解(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.(2)(2a+3b)(3a-2b)=6a2+5ab-6b2=6|a|2+5|a|b|cos 60-6|b|2=642+545 -652=-4.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,2.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60,求(a+2b)(a-3b).解(a+2b)(a-3b)=aa-ab-6bb=|a|2-ab-6|b|2=|a|2-|a|b|cos -6|b|2=62-64cos 60-642=-72.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.利用定义求向量的数量积时,要注意a与b的夹角大小.若
7、|a|b|是一个定值k,则当这两个向量的夹角从0变化到180时,两向量的数量积从k减到-k,其图象是从0到的半个周期内的余弦函数图象.2.求平面向量的数量积的一般步骤:运用数量积的运算律展开、化简;确定向量的模和夹角;根据定义求出数量积.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、求向量的夹角问题设n和m是两个单位向量,其夹角是60,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.思路分析求解时可先利用|a|=|2m+n|,|b|=|2n-3m|求模,再利用ab=(2m+n)(2n-3m)求数量积,最后代入,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,2
8、.导学号51820052已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,答案:B,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.导学号51820053(2016广东深圳南山期末)设非零向量a,b,c满足a+b=c,且|a|=|b|=|c|,则向量a与b的夹角为()答案:D解析:由题意可得c2=(a+b)2,|c|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos ,其中为向量a与b的夹角.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.已知a与b是相反向量,且|a|=2,则ab=.答案:-4解析:a与b互为相反向量,|a|=|b|且两向量夹角为180.ab=22cos 180=-4.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,
