1、第二章,推理与证明,2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法,学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接1.有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.,2.反证法主要适用于什么情形？答要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出
2、结论的线索不够清晰；如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.,预习导引1.反证法定义假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与矛盾等.,不成立,假设错误,原命题成立,已,知条件,假设,定义、公理、定理、事实,3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：,至多有一个,n,一个也没有,(n1),任意,某个,一定是,且,不都是,且,x，y0，1x2y,1y2x.2xy2(xy)，即xy2与已知
3、xy2矛盾.,规律方法对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.,跟踪演练1已知a，b，c，dR，且abcd1，acbd1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.证明假设a，b，c，d都是非负数，abcd1，(ab)(cd)1.又(ab)(cd)acbdadbcacbd，acbd1.这与已知acbd1矛盾，a，b，c，d中至少有一个是负数.,要点二用反证法证明不存在、唯一性命题例2求证对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线
4、yax(a为常数)对称.证明假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：ykx1与直线yax垂直；(2)点A、B在直线l：ykx1上；(3)线段AB的中点在直线yax上，所以,当k23时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意.,由、得a(x1x2)k(x1x2)2 ,所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yax对称.,规律方法证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或
5、同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便.,跟踪演练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条.证明如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P).,假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立.,p，q，rN*，,pr，这与pr矛盾.所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,规律方法(1)当结论中含有“不”、“不是
6、”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.,故方程f(x)0没有负数根.,1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角,B,1,2,3,4,5,2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个
7、三角形中()A.有一个内角小于60 B.每一个内角都小于60C.有一个内角大于60 D.每一个内角都大于60,B,1,2,3,4,5,3.“abC.ab D.ab或ab,D,1,2,3,4,5,4.用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则ab”时，应假设()A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于cC.ab D.a与b相交,D,1,2,3,4,5,5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.,1,2,3,4,5,课堂
8、小结1.反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的.(结论),2.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.,
