1、11分类加法计数原理与分步乘法计数原理,计数原理,11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1正确理解“完成一件事情”的含义2通过实例，总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理,1分类计数原理(加法原理)做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在笫n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有_种不同的方法原理的核心是每一种办法都能将事情完成例如：某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，在这天的不同时间中，火车有4班，汽车有3班，问此人的走法有几种选择？_（直接写出结果）.,基础梳理,Nm1 m2mn,7种,2分步计数原理(乘法
2、原理)做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法那么完成这件事有_种不同的方法原理的核心是每一个步骤都依次完成后，这件事情才能完成例如：某人上楼从底层到三层，今知从底层到二层有4个扶梯可走，又从二层到三层有2个扶梯可走，问此人从底层到三层的走法共有几种？_（直接写出结果）.,Nm1 m2mn,8种,3分类计数原理与分步计数原理的区别在于完成一件事是_还是_若是分类，则Nm1m2mn；若是分步，则Nm1m2mn.,分步,分类,自测自评,1某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数是_2从A
3、地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是_35本不同的书，全部送给6位学生，有多少种不同的送书方法()A720种 B7 776种C360种 D3 888种,50,24,B,4乒乓球队有男运动员7人，女运动员6人，从中选一人担任队长有_种方案；派出两人参加男、女混合双打比赛有_种选派方案,42,13,分类加法计数原理的应用,一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本
4、，有多少种不同的取法？分析：判别一种分法是“分类”还是“分步”的标准是看这种方法能否独立地完成这件事情如果能完成就是分类，如果不能单独完成，就是“分步”,解析：(1)从书架上任取一本书，有三类办法：第一类办法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类办法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类办法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法只要在书架上任意取出一本书，任务即完成由分类加法计数原理知，不同的取法共有N53210(种)(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：,第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从
5、书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N53230(种)所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法,跟踪练习,1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_种,9,20,分类乘法计数原理的应用,4个插班生分到甲、乙、丙三个班，有多少种不同的分法分析：一个学生分到甲、乙、丙中的某个班，有3种不同方法，一个学生确定到哪个班后，这件事情并没有完成，只有4个学生全部确
6、定各自到哪个班后这件事情才算完成，故应用乘法原理解决解析：完成4个学生分到3个不同的班级这件事，可按每个学生对班级选择分四步完成，每一步中每一个学生在3个班级中选择一个，有3种选法，由乘法原理得共有3481种不同的分法,跟踪练习,2集合Aa，b，c，d，B1,2,3,4,5(1)从集合A到集合B可以建立多少个不同映射？(2)从集合A到集合B的映射中，若要求集合A中元素的象不同，这样的映射有多少个？分析：集合A中四个元素在B中找到对应元素才得到映射，因此应用分步乘法计数原理,解析：由映射的定义和分步乘法计数原理得：(1)完成这件事需要4个步骤： 第1步安排元素a有5种方法， 同理安排元素b，c，
7、d各有5种方法故共有555554个不同的映射,(2)因A中元素的象不同，故第1步安排1个元素有5种方法，第2步安排另1个元素有4种方法，依此类推，共有5432120个不同的映射,分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合应用,集合A1,2，3，B1，2,3,4，现从A、B中各取一个元素作为点P(x，y)的坐标(1)可以得到多少个不同的点？(2)在这些点中，位于第一象限的有几个点？,解析：(1)第一类：选A 中的元素为x，B中的元素为y，有3412个不同的点；第二类：选A中的元素为y，B中的元素为x，有4312个不同的点故可以得到24个不同的点,(2)第一象限内的点，即x，y必须为正数，从而只能取
8、A、B中的正数，同样分两类N22228(个)即这些点中，位于第一象限的有8个点,跟踪练习,3设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？,解析：要完成的“一件事”是“从现有的这些画中选出2幅不同种类的画”分3类，每一类又分两步：第1类，先选1幅国画，再选1幅油画，有5210种选法；第2类，先选1幅国画，再选1幅水彩画，有5735种选法；,第3类，先选1幅油画，再选1幅水彩画，有2714种选法而每种选法都能独立完成这件事，所以共有1035 1459种不同的选法,1王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30个英语单词卡片，
9、右边口袋装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里各任取一个英语单词卡片，则不同的取法种()A20种B600种C10种 D30 000种,B,2.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A3种 B6种 C7种 D9种,解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317(种)答案：C,3. 如图所示为一电路图，从A到B可通电的线路共有（ ）A.1条 B.2条C.3条 D4条,D,4现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7 B12 C
10、64 D81,解析：要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312种不同取法答案：B,5. （2012年深中期末）设集合A=1, 0, 1，集合B= 0, 1, 2, 3，定义AB=（x, y）| xAB,yAB，则AB中元素个数是（）A. 7个 B. 10个C. 25个 D. 52个 解析：AB= 0, 1，AB 1, 0, 1, 2, 3，x有2种取法, y有5种取法，由乘法原理得有25=10个元素，故选B. 答案：B,6如下图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连连线标注的数
11、字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量现从结点A向结点B传递信息，信息可以从分开不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为()A26 B24 C20 D19,D,7. 如图，从AC有_种不同走法.答案：6,8. 某校会议室有四个出入门，若从一个门进，另一个门出，不同的走法有_种.,12,9. 一项活动，需要从3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加.（1）若只需一人参加，有多少种不同方法？（2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？（3）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法？,解析： (1)有三类选人的方法：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一
12、人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法.由分类计数原理，共有3+8+5=16种选法.(2)分三步选人：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法.由分步计数原理，共有385=120种选法.(3)可分两类，每一类分两步.第一类：选一名老师再选一名男同学，有38=24种选法；第二类：选一名老师再选一名女同学，有35=15种选法.由分类计数原理，共有24+15=39种选法.,10. 高二（1）班有学生50人，其中男生30人；高二（2）班有学生60人，其中女生30人；高二（3）班有学生55人，其中男生35人.（1）从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选
13、法?（2）从高二（1）班、（2）班男生中，或从高二（3）班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法? 分析：按当选学生来自不同班级分类.解析： (1)选一名学生有三类不同的选法.第一类：从高二（1）班选一名，有50种不同的方法；第二类：从高二（2）班选一名，有60种不同的方法；第三类：从高二（3）班选一名，有55种不同的方法.,故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165种不同的方法.(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法；第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法；第三类：从高二（3）班女生中选有
14、20种不同的方法.故任选一名学生任学生会体育部长有30+30+20=80种不同的方法.,11某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法？,解析：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人按“多面手”2人当选情况分四类第一类方法：多面手一个不选从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人共有5315种不同的选法；第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5210种不同的选法；第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人
15、中任选1人，,共有326种不同的选法； 第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法由分类计数原理知，共有15106132种不同的选法,12已知a 3,4,6，b1,2,7,8，r8,9，则方程 (xa)2(yb)2r2可表示多少个不同的圆？,解析：确定一个圆的方程分三步：第1步确定a的值有3种方法，第2步确定b的值有4种方法，第3步确定r的值有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同的圆的个数为：N32424(个)点评：明确要完成一个圆的方程的实质是得到一组a，b，r的值，应分三步完成，应用分步乘法计数原理来解,1对分类计数原理的理解(1)分类计数原理的特点：各类中的每一种方法都可
16、以完成要做的事情(2)应用分类计数原理要注意的问题明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法,确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”,(2)应用分步计数原理要注意的问题明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法不能完成这件事，也就是说必须要经过n步才能完成这件事完成这件事需要分成若干个步骤，只有每一个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏特别提醒：两个基本原理的区别在于：分类计数原理每次得到的是最后结果，分步计数原理每次得到的是中间结果.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
