1、1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念.空间直角坐标系:从空间某一个定点O引三条互相垂直,且有相同单位长度的数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.相关概念:点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.,(2)右手直角坐标系.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.交流1画空间直角坐标系时应注意哪些问题?答案：(1)x轴与y轴成135角,x轴与z轴成135角;(2)y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位
2、长度应相等,x轴上的单位长度则等于y轴(或z轴)的一半(xOy平面适用于斜二测画法);(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直.,2.空间一点的坐标对于空间任意一点A,作点A在三条坐标轴上的射影,即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴分别交于P,Q,R.点P,Q,R在相应数轴上的坐标依次为x,y,z,我们把有序实数组(x,y,z)叫做点A的坐标,记为 A(x,y,z).交流2在给定的空间直角坐标系下,空间中某一点是否有惟一的实数组(x,y,z)与之对应?答案：是.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点都有惟一确定的实数组(x,y,z)与之对应;反过来,给定实数组(
3、x,y,z),在空间中也有惟一的点和它对应.,交流3(1)点A(0,2,0)位于轴上;(2)在空间直角坐标系中,点A(2,0,-1)位于坐标平面内;(3)在空间直角坐标系中标出下列各点:A(0,0,3),B(0,2,4),C(2,2,3),D(1,3,-4).答案：(1)y(2)xOz(3)略,典例导学,一,二,三,即时检测,一、已知点的坐标确定点的位置在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). (导学号51800095)思路分析：解答本题可有三种思路:利用平移点的方法,将原点按坐标轴的方向平移三次得点M;构造适合条件的长方体,使三条棱长分别为4,2,5,通过和原点相对的顶点确定M的位置;
4、通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点M.,典例导学,一,二,三,即时检测,解：(方法一)将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0),再把M1沿与y轴平行的直线且与y轴正方向相反的方向平移2个单位,得到点M2(4,-2,0),最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴正方向相同的方向平移5个单位即得点M.,典例导学,一,二,三,即时检测,(方法二)以O为顶点构造长方体,使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,且棱长分别为4,2,5.则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M.(方法三)在x轴上找到x坐标为4的点,过此点作与x轴垂直的平面;在y轴
5、上找到y坐标为-2的点,过此点作与y轴垂直的平面;在z轴上找到z坐标为5的点,过此点作与z轴垂直的平面,则,交于一点,此交点即为所求的点M.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.点P(-1,0,4)的位置在平面内.解析：P点的纵坐标为0,P点在xOz平面内.答案：xOz,2.在空间直角坐标系中作出点P(-3,2,4).解：在平面xOy内作出点P(-3,2,0),过点P在z轴正方向一侧作平面xOy的垂线,使PP=4,则P(-3,2,4)即为所求的点P的位置.,典例导学,一,二,三,即时检测,在空间直角坐标系中作出点A(x,y,z)可分三步:(1)从原点出发沿x轴正方向(x0)或负方向(x0)或负
6、方向(y0)或负方向(z0)平移|z|个单位,即可得到点A(x,y,z)的坐标.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、求空间点的坐标在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出点E,F,G,H的坐标.(导学号51800096)思路分析：要求点的坐标,需求得x,y,z竖坐标的值,即确定出所求点的坐标.,典例导学,即时检测,一,二,三,解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上,它的x坐标、y坐标均为0,而E为DD1的中点,典例导学,即时检测,一,二,三,1.在空间直角坐标系中,点P的坐
7、标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ,则垂足Q的坐标是.,典例导学,即时检测,一,二,三,2.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=2,BAC=90,M是CC1的中点,Q是BC的中点.试建立适当的坐标系,写出B,C,C1,M,Q五点的坐标.,典例导学,即时检测,一,二,三,解：建立如图所示坐标系,由已知得B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2).M是C1C的中点,M点坐标为(0,2,1).又Q是BC的中点,Q点坐标为(1,1,0). 1.建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上.2.对于长
8、方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、空间中点的对称问题在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4). (导学号51800097)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.思路分析：类比平面直角坐标系中点的对称问题就可解决.,典例导学,即时检测,一,二,三,解：(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分
9、量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=22-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).,典例导学,即时检测,一,二,三,1.(2016江西吉安一中高二期中)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点坐标为()A.(4,0,6)B.(-4,7,-6)C.(-4
10、,0,-6)D.(-4,7,0)解析：在空间直角坐标系中,点M(x,y,z)关于y轴的对称点的坐标为(-x,y,-z),点M(4,7,6)关于y轴的对称点的坐标为Q(-4,7,-6).答案：B,典例导学,即时检测,一,二,三,2.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面xOy的对称点为P1,点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则P3的坐标为.解析：由题意可得P1点坐标为(2,3,1),P2点坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3坐标为(2,-3,1).答案：(2,-3,1) 对称规律的记忆方法:“关于谁谁不变,其余的相反”.如:关于x轴对称的点,横坐标
11、不变,其余坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称的点,x,y坐标不变,z坐标(竖坐标)变为原来的相反数.,典例导学,1,2,3,4,即时检测,1.有下列叙述:在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c);在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0,b,c);在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c);在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标是(a,0,c).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：Ox轴上的点的坐标为(a,0,0),错误,正确.答案：C,典例导学,即时检测,1,2,3,4,2.已知点A(-3,7,4),则点A关于原点的对称点的坐标为.答案：(3,-7,-4),典例导学,即时检测,1,2,3,4,3.点P(4,-3,7)关于坐标平面xOy的对称点的坐标是.答案：(4,-3,-7),典例导学,即时检测,1,2,3,4,4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个面分别平行三个坐标平面,顶点A(-2,-3,-1).求其他七个顶点的坐标.解：由于长方体的对称中心在坐标原点O,顶点A(-2,-3,-1),如图,所以B(2,-3,-1),C(2,3,-1),D(-2,3,-1),A1(-2,-3,1),B1(2,-3,1),C1(2,3,1),D1(-2,3,1).,
