1、3.2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量,第3章空间向量与立体几何,学习目标重点难点重点:直线的方向向量与平面的法向量的求法.难点:平面法向量的求法.,学习导航,1.直线l的方向向量我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做_.2.法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面,那么称向量n垂直于平面,记作_,此时,我们把向量n叫做平面的_.,直线l的方向向量,n,法向量,想一想1.直线的方向向量与平面的法向量各有几条？它们各自之间的关系是怎样的？提示:各有无数条,直线的方向向量都是平行向量,平面的法向量都是平行向量.,做一做2.已知a(2,4,5),b(
2、3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1l2,则x_,y_.,题型一直线的方向向量的应用 设a、b分别是直线l1、l2的方向向量,根据下列条件判断直线l1、l2的位置关系:(1)a(1,2,1),b(3,6,3);(2)a(1,2,2),b(2,3,2).,【解】(1)因为(3,6,3)3(1,2,1),所以b3a,所以l1l2.(2)因为ab(1,2,2)(2,3,2)(1)2(2)(3)2(2)0,所以ab,所以l1l2.,【名师点评】利用直线的方向向量可以判断两条直线的平行、垂直关系:设直线l1、l2的方向向量分别为a、b,则l1l2(或l1与l2重 合)abakb;l1l2a
3、b0.,变式训练1.在空间直角坐标系中,已知点A(2,4,0),B(1,3,3),P是线段AB上的一点,且满足APPB12,试求点P的坐标.,题型二求平面的法向量 已知平面经过三点A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,2,0),试求平面的一个法向量.,【名师点评】用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线向量,设出平面的法向量,列出方程组,求出的三个坐标不是具体的值,而是比例关系,取其中一组解(非零向量)即可.,题型三先建系再求法向量 (本题满分14分)正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,试建立适当的坐标系,求平面A1AD的一个法向量.【思路点拨】设
4、n(x,y,z)是平面A1AD的一个法向量,根据n平面A1AD,在平面中找到两个不共线的向量与法向量垂直,利用向量数量积找出x、y、z之间的关系,从而确定n的坐标.,【名师点评】平面的法向量就是平面法线的方向向量,因此可以先确定平面的法线,再取它的方向向量.也可以直接设定向量与平面内的两条相交直线垂直,从而得到平面的法向量.,变式训练3.已知正方体AC1的棱长为1,试建立适当的坐标系,并写出下列平面的一个法向量.(1)平面ABCD;(2)平面ADD1A1;(3)平面ABC1D1;(4)平面A1BC1.,已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,2).(1)写出直线BC的一个方向向量;
5、(2)设平面经过点A,且BC是的法向量,M(x,y,z)是平面内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.,方法技巧1.空间直线的方向向量和平面中直线的方向向量意义相同,就是直线上有向线段表示的向量或与其共线的向量,可以刻画直线的延伸趋势.一旦给出直线经过某点,就可以确定出直线位置.2.平面的法向量就是与平面垂直的向量,由它也可以确定出平面的位置.,3.在立体几何解题时,直线的方向向量一般不再叙述而直接应用,可以参与向量运算或向量的坐标运算.在给出的几何体比较特殊(能构建空间直角坐标系)时,坐标运算更为简便.4.确定平面的法向量通常有两种方法:(1)几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直.(2)几何体中没有具体的直线,此时可以采用待定系数法求解平面的法向量.,失误防范,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
