1、二特征向量的应用,1.利用矩阵A的特征值、特征向量给出An的简单的表示,并能用它来解决问题.2.会利用特征向量解决简单的实际问题.,1,2,1.An的简单表示设A是一个二阶矩阵,是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向量,则An=n(nN*).名师点拨由此可把矩阵的乘方转为实数的乘方,比较简便.,1,2,1,2,1,2,2.性质设1,2是二阶矩阵A的两个不同特征值,1,2是矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量,对于任意的非零平面向量,设=t11+t22(其中t1,t2为实数),则对任意的正整数n,有名师点拨由于1和2是矩阵A的分别属于特征值1,2的特征向量,所以1与2不共线,由平面向量的基本定理
2、,知平面内的任意一个非零向量都可以用1和2表示出来,即存在两个实数t1,t2使=t11+t22,也就是可以用特征向量表示出来.,1,2,1,2,1.设二阶矩阵A的两个特征值1,2对应的两个特征向量分别为1,2,为二阶矩阵A对应的线性变换,为平面内的任意一个向量,那么An(nN*)能否用1和2表示出来呢?剖析:因为1,2是二阶矩阵A的两个特征向量,所以1,2不共线,则平面内的任意一个向量就可以用1,2表示出来,即存在实数t1,t2使得=t11+t22,A1=11,A2=22.所以 =A=A(t11+t22)=t1(A1)+t2(A2)=t111+t222,2=A2=A(A)=A(t111+t22
3、2)=t11(A1)+t22(A2),2.求An的基本步骤是什么?剖析:第一步:由特征向量的定义A=,求出特征值和相应的特征向量;第二步:把向量改写为用1和2表示,即=t11+t22;第三步:由性质公式计算,题型一,题型二,题型一,题型二,题型一,题型二,反思利用特征值和特征向量的知识,可以方便地计算多次变换的结果.,题型一,题型二,【例2】 当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0
4、.1倍;(3)第n年时,兔子数量用Rn表示,狐狸数量用Fn表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有R0=100只,狐狸数量有F0=30只.这样,兔子和狐狸的生态模型为试用矩阵知识求出Rn,Fn关于n的关系式,并讨论当n越来越大时,兔子和狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态?,题型一,题型二,分析:根据已知条件首先要转化为向量表示及其矩阵形式表示,其次求出矩阵的特征值及其特征向量,最后解答.,题型一,题型二,和Fn分别趋向常量210和140,即随着时间的增加,兔子和狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子和狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态.,题型一,题型二,反思解决实际问题时,需要先从题目中提炼出信息,本题转为矩阵表示,用矩阵及特征向量表示解答问题.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性以及竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X,Y随时间段变化的数量分别为an,bn,并有关系式,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
