1、复数的概念与运算要点梳理一、要点解读1复数的有关概念（1）虚数的单位 i 的引入认识：它和实数可以进行四则运算，产生形如 abi的数（其中 abR， ） ；它的平方等于 1，即 2i（2）复数及其相关概念：复数形如 abi的数（其中 ， ） ；实数当 0时的复数 i，即 a；虚数当 时的复数 ；纯虚数当 且 时的复数 a+bi，即 bi；复数 i的实部与虚部a、b 分别叫做复数的实部与虚部（注意 a、b 都是实数） ；复数集 C全体复数的集合，一般用字母 C 表示（3）两个复数相等的定义：abicdic且 d（其中 a，b，c， dR）特别地，0（）复数的比较：两个复数，如果不全是实数，就不能
2、比较大小注：若 12z， 为复数，则1若 0，则 12z （） （ 12z， 为复数，而不是实数）若 12z，则 （）若 abcC， ， ，则 222()()()0abca是 bc的必要不充分条件 （当 2()i， 1， 时， 22()()0a，但 不成立）2复数的有关运算（1）复数的四则运算：代数运算的加减法类似合并同类项，代数运算的乘法类似多项式的乘法，代数形式的除法，通常先写成分式的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，使分母实数化()()()abicdiacbdi，(a，2()()()(0)abiicdabcadicd注：复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律（2）运算律满足的条件：
3、复数的乘方： ()nnzzNA对任何 12C， ， 及 m， 有 mnzA， ()mnz， 1212()nnzzA注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果如 i，4i若由1242()i就会得到 1的错误结论在实数集中 x成立，当 x 为虚数时， 2x，所以复数集内解方程不能采用两边平方法3共轭复数的性质：z1212zz2a， ()zbizaiA11z 12z22(0)z ()n注：两个共轭复数之差是纯虚数 （） （差可能为零，此时两个复数是相等的实数 ）复数和有序实数对的一一对应关系（1）复数 ()zabiR， 可说成点 ()Zab， 或向量，并且规定，相等的向量表示同一复
4、数向量 OZ的模叫做复数 zi的模（或绝对值） ，记作 z或 abi由模的定义可知2zabi（2）复平面内的两点间距离公式： 12dz其中 12z， 是复平面内的两点 1Z和 2所对应的复数， 12z表示 12Z， 两点间的距离（3）曲线方程的复数形式： 0zr表示以 0z为圆心，r 为半径的圆的方程 12表示线段 12Z的垂直平分线的方程 zza（ 且 12a）表示以 12Z， 为焦点，长半轴长为 a 的椭圆的方程（若 12，此方程表示线段 ） 1212(0)zzZ，表示以 12， 为焦点，实半轴长为 a 的双曲线方程（若 1a，此方程表示两条射线） （4）绝对值不等式：设 12z， 是不等
5、于零的复数，则 1212zz 左边取等号的条件是 （ R，且 0） ，右边取等号的条件是 21z（ ，且 ） 1212z 左边取等号的条件是 21z（ R，且 0） ，右边取等号的条件是 21z（R，且 0） 注： 12341nnAA5几个充要条件（1）复数 z 是实数及纯虚数的充要条件： zzR若 0，或 z 是纯虚数0（2）模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的；而相等的向量表示同一复数特例：零向量的方向是任意的，其模为零注： z二、范例点悟例 计算196231ii分析：本题若按复数除法和乘法法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论 2()ii，并注意到 23(3)ii，不难找出简捷解法解：原式9829898(123)1iiiii 42921iii评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用 i 的幂的性质及 1i 的幂的性质（详见第二版）等，将有效地简化运算，提高解题速度
