1、1.3.2函数的极值与导数,第一章导数及其应用,学习导航学习目标重点难点重点:求函数的极值.难点:函数在某点取得极值的充要条件的理解.,1.极小值点与极小值如图,函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0;而且在点xa附近的左侧_,右侧_,则把点a叫做函数yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf(x)的极小值.,f(x)0,2.极大值点与极大值如图,函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0;而且在点xb附近的左侧_,右侧_,则把点b叫做函数yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值._、_统称
2、为极值点,_ 和_统称为极值.,f(x)0,f(x)0,极大值点,极小值点,极大值,极小值,想一想1.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？提示:不一定;不一定唯一.,2.导数为0的点都是极值点吗？提示:不一定.如f(x)x3,由f(x)3x2知f(0)0,但x0不是f(x)x3的极值点.,做一做已知导函数f(x)的下列信息:当13,或x0;当x1,或x3时,f(x)0.则f(x)的极大值点为_,极小值点为_.答案:x1x3,【解】(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R,且f(x)3x26x9.解方程3x26x90,得x11,x23.当x变化时,f(
3、x)与f(x)的变化情况如下表:,【名师点评】求函数极值的方法:(1)求导数f(x);(2)求方程f(x)0的全部实根;(3)列表,检查f(x)在方程f(x)0的根左、右的值的符号;(4)判断单调性,确定极值.,变式训练,因此当x2时,y取得极大值8;当x2时,y取得极小值8.,【名师点评】已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,题型三与函数极值有关的综合问题 (本题满分12分)已知a为实数,函
4、数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图);(2)当a为何值时,方程f(x)0恰好有两个实数根？【思路点拨】函数f(x)的导数f(x)求极值、画图象需运用导数求解.,【解】(1)由f(x)x33xa,得f(x)3x23,令f(x)0,得x1或x1.1分当x(,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0;,当00或a4时,原方程有一个根;当a0或a4时,原方程有两个不等实根;当4af(x1).,失误防范(1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数为零的点不一定是极值点,即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f(x0)0”的充分但不必要条件;(2)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
