1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-2,导数及其应用,第一章,1.3导数在研究函数中的应用,第一章,1.3.2函数的极值与导数,1.掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，及其他简单函数的极值,重点：函数极值的概念与求法难点：函数的单调性与极值的综合应用,思维导航在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同，有的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？,函数的极值与导数的关系,新知导学,(c，f(c),(d，f(d),大,大,小,小,2
2、一般地，已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于包含x0在内的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_；如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取得_，并把x0称为函数f(x)的一个_极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_,f(x)f(x0),极小值,极小值点,极值,极值点,3理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、右两侧_的点而言的(2)极值点是函数_的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若f(x)在定义域a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区
3、间上的单调函数_极值,附近,定义域内,没有,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极_值(如图),大,牛刀小试1已知函数yf(x)，其导函数yf (x)的图象如图所示，则yf(x)(),A在(，0)上为减函数B在x0处取极小值C在(4，)上为减函数D在x2处取极大值答案C解析使导函数yf (x)0的x的取值范围为增区间；使导函数yf (x)0，当04时，f (x)0，f(x)在(3，)上为增函数；x3是函数f(x)的极小值点，函数f(x)的单调减区间是(1,3),分析首先对函数求导，然后求方程y0的根，再检查y在方
4、程根左、右两侧的值的符号如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值,利用导数求函数的极值,方法规律总结1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值的方法是：(1)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f(x0)是极小值；(3)如果f (x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值,2利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域(2)求导数f (x)(3)解方程f (x)0得方程的根(4)利用方程f (x)0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号(5)确定函数
5、的极值，如果f (x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值,答案C解析f (x)x2x2(x1)(x2)，则知在区间(，1)和(2，)上，f (x)0，故当x1时，f(x)取极小值,分析本题的关键是理解“f(x)在x1处的极大值为4，极小值为0”的含义即x1是方程f (x)0的两个根且在根x1处f (x)取值左、右异号解析f (x)5ax43bx2x2(5ax23b)由题意，f (x)0应有根x1，故5a3b，于是f (x)5ax2(x21),求参数的值或取值范围问题,方法规律总结已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0
6、和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性,(3)(2013泰州二中高二期中)已知函数f(x)x3ax23ax1在区间(2,2)内，既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围是_,解析(1)f (x)6x26x，令f (x)0，得6x26x0，解得x0或1.且易知x0是极大值点f(0)a6.(2)yexa，由题意知a0，a0与f (x)0的x的取值范围，并区分f (x)的符号由正到负和由负到正，再做判断,答案,方法规律总结有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f (x)的图象，若给的
7、是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f (x)的图象，应先找出f (x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解,函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个C3个 D4个答案A,解析由f (x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点,分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用,解题思路探究第一步，审题审结论明确解题方向，求函数f(x)的单调区间与极值，需求f (
8、x)，然后按单调性和极值与导数的关系求解；审条件，发掘解题信息，f(x)是三次函数，f (x)是二次函数，由二次方程的根探求极值点和单调区间；f(x)解析式中含参数，应分类讨论第二步，建联系，找解题途径先求f (x)，解方程f (x)0找分界点，再按a的符号讨论单调性求极值第三步，规范解答,已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极大值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围分析(1)f (x)的表达式中含字母a，a的取值影响f (x)的符号变化，故求f(x)的单调区间应分类讨论(2)f(x)在x1处取得极大值，即f (1
9、)0，由此可求得a的值从而解出f (x)0的两根直线ym与yf(x)的图象有三个不同交点，且f(x)只有一个极大值和一个极小值，应有f(x)极小值mf(x)极大值,(2)f(x)在x1处取得极大值，f (1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f (x)3x23，由f (x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，又f(3)191，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(3,1),辨析根据极值定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，上述解法未验证
10、x1时函数两侧的单调性，导致错误正解(在上述解法之后继续)当a1，b3时，f (x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去；当a2，b9时，f (x)3x212x93(x1)(x3)当x3，1时，f(x)为减函数；当x1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值因此a2，b9.,若函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则a、b的值依次为_答案411,点评x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数值异号，即若f (x)在方程f (x)0的根x0的左、右的符号：“左正、右负”f(x)在x0处取极大值；“左负、右正”f(x)在x0处取极小值，而不仅是f (x0)0，f (x0)0是x0为极值点的必要而非充分条件对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f (x0)0，又要考虑检验在x0左、右两侧导数值是否异号,
