1、第七章 立体几何初步第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,1.多面体的结构特征,平行,相等,平行,全等,公共顶点,平行,平行,相似,2.旋转体的结构特征,矩形,直角边,平行,直径,3.三视图(1)名称:几何体的三视图有:_、_、_.(2)画法:画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线；三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、_方、_方观察几何体得到的正投影图.,正视图,侧视图,俯视图,正前,正左,正上,(3)规则:画法规则：长对正、高平齐、宽相等；摆放规则：侧视图在正视图的_侧，俯视图在正视图的_方.,右,下,4.空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用_画法来
2、画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中,x轴、y轴的夹角为_，z轴与x轴和y轴所在平面_.,斜二测,45(或135),垂直,(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍_于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中长度_，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为_.,平行,不变,原来的一半,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3)一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱.( ),(4)用斜二测
3、画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A=90，则在直观图中,A=45.( )(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( ),【解析】(1)错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行.如图 ,该几何体并不是棱柱.(2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点.(3)正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱.,(4)错误.A应为45或135.(5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的
4、形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同.答案：(1) (2) (3) (4) (5),1.下列结论中正确的是( )(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线,【解析】选D.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；以正六边形为底面，则棱长
5、必然要大于底面边长，故C错误，所以选D.,2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )(A)圆柱 (B)圆锥(C)球体 (D)圆柱、圆锥、球体的组合体【解析】选C.由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体.,3.一个几何体的正视图和侧视图如图所示,则这个几何体的俯视图不可能是( ),【解析】选D.该几何体的正视图和侧视图都是正方形,其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱,但不可能是一个长与宽不相等的长方体.,4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ),【解析】选A.
6、由直观图的画法规则可知,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半.,5.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_.(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱四棱柱 圆锥 圆柱【解析】只要判断正视图是不是三角形就行了,画出图形容易知道三棱锥、四棱锥、圆锥一定可以,对于三棱柱,只需要放倒就可以了,所以均符合题目要求.答案：,6.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边长分别为_,_.,【解析】由三视图的画法可知,该三棱柱的高为2,底面正三角形的高为 ,即底面边长为4.答案：2 4,考向 1 空间几何体的结构特征【典例
7、1】(1)给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台;若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直;若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;,存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是( )(A) (B)(C) (D),(2)给出下列命题:在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.其中正确命题的序号是( )(A) (B) (C) (D),【
8、思路点拨】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的几何模型作出判断.(2)根据母线的定义和性质作出判断.【规范解答】(1)选C.错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形;错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥,才能得到棱台;正确,根据面面垂直的判定定理判断;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;,正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是.(2)选D.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知,只有是正确的,所以选D.,【拓展提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)紧扣结构特征是判断
9、的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.,【变式训练】(1)如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,是假命题的是( )(A)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等(B)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补(C)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆(D)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上,【解析】选B.因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等,所以它的顶点在底面上的射影到底
10、面的四个顶点的距离相等,故A,C正确,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等,故D正确,B不正确,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立.,(2)下列命题中，正确的是( )(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体(D)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱,【解析】选D.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A,C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确.,考向 2 空间几何体的三视图【典例2】(1)(2012湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示
11、,则该几何体的俯视图不可能是( ),(2)(2013中山模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PC与底面垂直.若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形,则该四棱锥中最长的棱的长度为( )(A)1 (B) (C) (D)2,【思路点拨】(1)可根据正视图与侧视图相同逐项排除.(2)根据三视图的画法求出四棱锥P-ABCD中最长棱的长度.【规范解答】(1)选C.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无虚线.因此俯视图不可能是C.(2)选C.在四棱锥P-ABCD中,连接AC,由正视图和侧视图可得PC=BC=CD=1,故 最长的棱为,【互动探究】
12、若本例题(2)中的四棱锥P-ABCD为正四棱锥,且正视图和侧视图是边长为1的正三角形,求该四棱锥的侧棱长.【解析】如图,由条件知,正四棱锥的底边AB=1,高则在正方形ABCD内,故侧棱长,【拓展提升】三视图的画法技巧(1)画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察，它的轮廓线是什么，然后再去画图.(2)对于简单几何体的组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清楚它们的生成方式,另外应特别注意它们的交线的位置.,【变式备选】(1)(2013韶关模拟)已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都是2,给出以下a,b,c,d四种不同的三视图,
13、其中可以正确表示这个正三棱柱的三视图的有( ),(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【解析】选D.根据正三棱柱的位置,以及画三视图的规则,容易得出4种不同的三视图都正确.,(2)一个几何体的正视图和俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )(A)7 (B) (C)6 (D),【解析】选B.由分析可知其侧视图如图所示,其上面是一个两直角边均为1的直角三角形,则侧视图的面积为,空间几何体的直观图【典例】(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.,(2)如图所示，ABC是ABC的直观图，且ABC是边长为a的正三角形,求ABC的面积.【思路点拨】(1)先由三视图确定几何体的结
14、构，然后画出直观图.(2)根据斜二测画法，作出ABC的边AB上的高在平面直观图中所对应的线段，并用平面几何的知识求其长度即可求得原ABC的面积.,【规范解答】(1)该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后画上底面矩形，连线即成.画法：如图，先画轴，依次画 轴，三轴相交于点使 在z轴上取 再画 轴.在坐标系xOy中作直观图ABCD，使得AD=20 cm，AB=8 cm；在坐标系 中作直观图A1B1C1D1，使得A1D1=12 cm，A1B1=4 cm.连接AA1,BB1,CC1,DD1，即得到所求直观图.,(2)如图所示， 是边长为a的正三角形，作交y轴于点D，则D到x轴的距离为 由斜二测画
15、法的法则知，在ABC中， AB边上的高是 的二倍，即为,【互动探究】本例(2)若改为“已知ABC是边长为a的等边三角形，求其直观图ABC的面积”,则如何求解?,【解析】如图所示,ABC为ABC的直观图,O为AB的中点.由直观图的画法知AB=a,OC= ,即边长为a的等边三角形的直观图的面积为,【拓展提升】直观图画法的关键直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.【提醒】画直观图时注意被遮挡的部分画成虚线.,【变式备选】如图,矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O
16、A=6 cm,OC=2 cm,则原图形是( )(A)正方形 (B)矩形(C)菱形 (D)一般的平行四边形,【解析】选C.将直观图还原得OABC,OD= OC= (cm),OD=2OD= (cm),CD=OC=2(cm),CD=2(cm),OA=OA=6(cm)=OC,故原图形为菱形.,【易错误区】三视图中的实虚线不分致误【典例】(2012陕西高考)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为( ),【误区警示】本题易出现的错误为实虚不分致误,不能正确区别哪些棱为可见,哪些棱为不可见,从而画错实虚线导致错误.【规范解答】选B.图2所示的几何体的侧视图可由点A，
17、D，D1,B1确定其外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，且要把AD1和B1C区别开来，故选B.,【思考点评】画三视图应注意的问题(1)在绘制三视图时,分界线和可见轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即“眼见为实,不见为虚”.(2)在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”.,1.(2013珠海模拟)如图1，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1，B1C1，CC1，DD1的中点,平面EFGH将正方体截去一个三棱柱后,得到图2所示的几何体,则此几何体的正视图和侧视图是( ),【解析】选C.由三视图的画法规则可知,在正视
18、图中HG应为虚线.,2.(2012福建高考)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )(A)球 (B)三棱锥(C)正方体 (D)圆柱,【解析】选D. 圆柱的三视图，分别为矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一样,而球的三视图可以都是圆,三棱锥的三视图可以都是三角形,正方体的三视图可以都是正方形.,3.(2013汕头模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能是长方形;正方形;圆;椭圆.其中正确的是( )(A) (B) (C) (D)【解析】选B.由三视图的作图原则可知,正视图、侧视图的宽度不一样,故俯视图不能为正方形;圆,选B.,4.(2013深圳模拟
19、)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,A1A=AB=2,BC=1,AC= ,若规定正视方向垂直平面ACC1A1,则此三棱柱的侧视图的面积为( )(A) (B)(C)4 (D)2,【解析】选A.依题意,注意到AB2+BC2=AC2,所以ABBC,点B到直线AC的距离等于 所以此三棱柱的侧视图的面积为 故选A.,1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图可能是( )(A)(1),(3) (B)(1),(3)，(4)(C)(1),(2),(3) (D)(1),(2),(3),(4),【解析】选A.该几何体的正视图和侧视图均如已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是直四棱柱，直三棱柱，圆柱.(2)中俯视图的圆与三角形相切不合适，(4)中正视图与侧视图不同，不可能.故该几何体的俯视图(1)，(3)皆有可能.故选A.,2.一个几何体的三视图如图所示,其正视图的面积等于8,俯视图是一个面积为 的正三角形,则其侧视图的面积为( )(A) (B)(C) (D)4,【解析】选A.由三视图知该几何体是正三棱柱,设其底面边长为a,高为h,则其正视图为矩形,矩形的面积S1=ah=8,俯视图为边长为a的正三角形,三角形的面积 则a=4,h=2,而侧视图为矩形,底边为 高为h,故侧视图的面积为,
