1、1.2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材，观察推导常用函数导数的过程，并熟记基本初等函数的导数公式,【知识链接】求导函数的三个步骤：(1)求，化简(2)观察：“当x0时，化简结果趋于哪个定值？”(3)定值即为函数的导数,主题：几个常用函数与基本初等函数的导数公式【自主认知】1.利用y=2x，y=3x，y=4x的图象确定函数的导数分别是什么？并归纳y=kx(kR)的导数是什么？提示：利用导数的几何意义结合图象可得y=2x，y=3x，y=4x的导数分别是y=2，y=3，y=4.归纳可得y=kx(kR)的导数为y=k.,2.利用y=
2、x，y=x2的导数猜想y=xn(nQ*)的导数是什么？提示：若y=f(x)=xn(nQ*)，则f(x)=nxn-1.,根据以上探究过程，试着写出1.函数y=c，y=x，y=x2，y= ，y= 的导数,0,1,2x,2.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数)，则f(x)=_.(2)若f(x)=x(Q*)，则f(x)=_.(3)若f(x)=sin x，则f(x)=_.(4)若f(x)=cos x，则f(x)=_.(5)若f(x)=ax，则f(x)=_.,0,x-1,cos x,-sin x,axln a,(6)若f(x)=ex，则f(x)=_.(7)若f(x)=logax，则f(x
3、)=_.(8)若f(x)=ln x，则f(x)=_.,ex,【合作探究】1.常用函数的导数有什么特点？提示：(1)常数函数的导数为零.(2)有理数幂函数的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.,2.已知f(x)=cos x，f1(x)=f(x)，f2(x)=f1(x)，f3(x)=f2(x)，对f(x)多次求导，有什么规律？提示：因为f1(x)=(cos x)=-sin x，f2(x)=(-sin x)=-cos x，f3(x)=(-cos x)=sin x，f4(x)=(sin x)=cos x，所以，f(x)的导数呈周期性出现，周期为4.,【过关小练】1.f
4、(x)=x2，若f(x0)=2，则x0等于()A.2B.1C.-2D.-1【解析】选B.f(x)=(x2)=2x，又f(x0)=2，所以2x0=2，x0=1.,2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2，则f(-1)=()A.-4B.-2C.2D.4【解析】选B.因为f(x)=ax4+bx2+c，所以f(x)=4ax3+2bx，所以f(1)=4a+2b=2，所以f(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.,【归纳总结】导数公式的记忆技巧(1)f(x)= 可以化为f(x)=x-1，由幂函数的导数可得f(x)=-1x-2=- ；f(x)=c可以看作是f(x)=cx0，,由幂函数的导数
5、可得f(x)=0cx0-1=0；f(x)= 可以看作是f(x)= 由幂函数的导数可得f(x)= 因此，5个常用函数的导数都可以归纳到幂函数的求导.,(2)指数函数f(x)=ex的导数可以归到f(x)=ax的导数，由f(x)=ax的导数可得，f(x)=ex的导数f(x)=exln e=ex.(3)对数函数f(x)=ln x的导数可以归到f(x)=logax的导数，由f(x)=logax的导数可得，f(x)=ln x的导数f(x)=,类型一：利用公式求函数的导数【典例1】利用求导公式求下列函数的导数：(1)y=x-5.(2)y= (3)y= (4)y=4x.(5)y=log3x.(6)y=sin(
6、 +x).,【解题指南】先把函数解析式化简变形为符合应用公式的形式，然后利用导数公式求导.【解析】(1)y=-5x-5-1=-5x-6.(2)因为y= 所以y=,(3)y=sin 为常数函数，所以y=0.(4)y=4xln4.(5)y= (6)因为y=sin( +x)=cos x，所以y=-sin x.,【规律总结】应用导数公式求导的两个注意事项(1)应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.(2)对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理转化后再求导，如y= 可以转化为y= 后再求导.,【巩固训练】求下列函数的导数：【解析】(1)y=( )=(x-3)
7、=-3x-3-1=-3x-4.(2)y=,【补偿训练】曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=()A.1B.3C.2D.4【解析】选B.y=nxn-1，因为y|x=2=12，所以n2n-1=12.检验知n=3时成立.,类型二：导数公式的应用【典例2】求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.【解题指南】判断出点P在曲线上后求出该点处的导数值，即得切线的斜率.【解析】y=(x4)=4x4-1=4x3.所以y|x=2=423=32，所以点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2)，即32x-y-48=0.,【延伸探究】1.(改变问法)求曲线y=x4过点Q(0，-3)的切线方程.【解
8、析】显然点Q不在曲线上，设切点为(x0，y0)，因为y=4x3，所以 解得所以当切点为(1，1)时，切线斜率为4，切线方程为4x-y-3=0；当切点为(-1，1)时，切线斜率为-4，切线方程为4x+y+3=0.,2.(变换条件、改变问法)已知直线l：y=x-1，点M为y=x4上任意一点，求M在什么位置时到直线l的距离最短.【解析】由题意知，在点M处的切线与直线l平行时，点M到直线l的距离最短.设M(x1，y1)，因为y=4x3，所以4x13=1，解得x1=所以点M的坐标为( ).,【规律总结】导数法解切线问题(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点.(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点.若切点没有给出，一般是先设出切点，然后求出切点坐标，最后求切线方程.,【补偿训练】质点的运动方程是s=t3(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.【解析】v=s=(t3)=3t3-1=3t2，所以当t=3时，v=332=27m/s，所以质点在t=3时的速度为27m/s.,
