1、2.2.1 椭圆及其标准方程(一),生活中的椭圆,生活中的椭圆,在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆,改为两个定点呢？,数 学 实 验,1在平面内，任取两个定点F1、F2 ；2取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点 ；3用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？,演示,F1,F2,请你为椭圆下一个定义,想想看，这一过程中什么变化了，什么没有变？,1.椭圆的定义,平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（用2a表示且大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。,
2、椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,(2a2c),M,F2,F1,数 学 实 验,1在平面内，任取两个定点F1、F2 ；2取一细绳并将细绳（大于两定点的距离）的两端分别固定在F1、F2两点 ；3用笔尖（点M）把细绳拉紧，慢慢移动笔尖看看能画出什么图形？,若改为小于或等于将是什么情况？,演示1,演示2,结论：1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是椭圆。2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离时，不能构成图形。, 求动点轨迹方程的一般方法：,（1）建系设点（2）列式（3）代换、化简 （4）审查,坐标法,2.求
3、椭圆的方程：, 探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常利用“对称性”,方案一,2.求椭圆的方程：,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,（问题：下面怎样化简？）,由椭圆的定义得：,代入坐标,两边除以 得,由椭圆定义可知,整理得,两边再平方，得,移项，平方,总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式,焦点在y轴：,焦点在x轴：,3.椭圆的标准方程:,图 形,
4、方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,Y,椭圆的标准方程的认识：,（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大
5、，则焦点在哪 一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上”,例1、填空：(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,例题精析,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法： 看分母，谁大在谁上,练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？并指明a2、b2，写出焦点坐标,答：在 X 轴。（-3，0）和 （3，0）,答：在 y 轴。（0，-5）和 （0，5）,答：在y 轴。（0，-1）和 （0，1）,(2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：_，焦距 等于_
6、; 若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,例1、填空：,练习2：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标,例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0),并且经过点 ,求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方 程为 (ab 0)由椭圆定 义知 所以 ,又因为 ,所以 因此,椭圆的标准方程为,待定系数法,两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。,解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程 为：,2a=10，2c=8,即 a=5，c=4,故 b2=a2-c2=52-42=9,所以椭圆的标准方程为：,练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,看分母，谁大在谁上,a2-c2=b2,(ab0),总结回顾,|MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,
