1、1.1.1 正弦定理,某通信公司拟通过某一河流修建水下电缆，需测量河两岸点A与点B之间的距离请同学们思考一下，如何在河的一侧得出两岸A与B之间的距离？,A,B,则c=,1.1.1 正弦定理,csinB=bsinC,同理可得,过点A作ADBC于D,此时有,若三角形是锐角三角形, 如图1,sinB=,sinC=,正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。,正弦定理的常见变形(1)asin Bbsin A，asin Ccsin A，bsin Ccsin B.(2)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即abcsin Asin Bsin C.,一般地，把三角形的三个角A,B,C和他们的边a
2、,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.,利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢？,题型一已知三角形的两角及一边解三角形,在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c.思路探索 先求角A，再用正弦定理求b和c.,【例1】,在ABC中，a5，B45，C105，求边c.,【变式1】,在ABC中，分别根据下列条件解三角形：思路探索 解题的关键是判断解的个数,题型二已知两边及一边的对角解三角形,【例2】,利用正弦定理解决“已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合“三角形大边对大角”来判断解的情
3、况，做到正确取舍,如在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：,满足a4，b3和A45的ABC的个数为 ()A0个 B1个 C2个 D无数多个ba，B有一解，故ABC的个数为1个答案B,【变式2】,小 结,正弦定理用途：,解斜三角形,已知两角和任一边，求其它两边和一角；已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。,实现三角形当中边角之间的转化,在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状思路探索 首先利用正弦定理将sin2Asin2Bsin2C中的角的关系转化为边的关系，再利用内角和ABC及三角函数的知识判断形状,题型三利用
4、正弦定理判断三角形的形状,【例3】,A90，BC90.由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos(90B)，ABC是等腰直角三角形,sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos C.sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.BC0，即BC.ABC是等腰直角三角形,在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B.2A2B或2A2B，即AB或AB .ABC为等腰三角形或直角三角形,【变式3】,1、在 中，一定成立的等式是（ ）,C,随堂练习,五、小结,1、这节课我们主要学习了正弦定理,以及两类应用正弦定理解决的解三角形问题.,2.通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想.,
