1、3.1.2 用二分法求方程的近似解,【学习目标】,1.能够根据具体函数图象，借助计算器用二分法求相应方,程的近似解.,2.通过用二分法求方程近似解的过程，体会函数零点与方程的根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.,1.二分法的定义对于区间a，b上_且_的函数yf(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.根据函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法求方程的近似解.,连续不断,f(a)f(b)0,一分为二,零点,2.在用二分法求方程近似解的过程中，所选区间的长度尽量_，区间端点的函数值的符号_，最后满足区,间
2、长度_精确度才终止计算.,小,相反,小于,练习 1：用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次计算，得 f(0)0，f(0.5)0，第二次应计算 f(x1)，则 x1 ,_.,0.25,3.变号零点与不变号零点,变号,不变号,若在函数零点的附近两侧的函数值异号，称该零点为_零点；若在函数零点的附近两侧的函数值同号，称该零点为_零点.二分法是求函数_零点的方法.练习2：下列函数的图象与 x 轴都有交点，其中不能用二,分法求交点的横坐标的函数是(,),C,A.y2xC.yx2,B.yx1D.ylog2x,变号,【问题探究】在 27 枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的,假币(
3、重量稍轻)，现在只有一台天平，则最少需要称(,)次就,可以保证找到这枚假币.(,),A.3,B.4,C.5,D.6,解析：可利用二分法解决.答案：A,题型 1 二分法的适用条件【例1】 如图3-1-2，函数的图象与 x 轴均有交点，其中不,),能用二分法求交点的横坐标的是(图 3-1-2,A.(1),B.(1)(3),C.(2)(3),D.(1)(4),思维突破：二分法的理论依据是零点的存在性定理，因此,必须满足零点两侧的函数值是异号.,(1)(4)零点的两侧函数值同号，即不满足 f(a)f(b)0，则不,能用二分法求解.,答案：D,对“函数在区间a，b上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域
4、内是否连续，只要找得到包含零点的区间上的函数图象是连续的即可.,【变式与拓展】1.图 3-1-3 是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的交点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)的零点近似值的,是(,),B,A.(2.1，1)B.(1.9,2.3)C.(4.1,5),D.(5,6.1),图 3-1-3,解析：只有 B 中的区间所含零点是不变号零点.,2.下列函数中，函数_能用二分法求其近似零点.,y2x3；yx22x1；y3lgx.,解析：根据函数的图象，可知：的零点是变号零点，的零点是不变号零点.,题型 2 用二分法求方程的近似解【例 2】 先用求根公式求出方程 3
5、x24x10 的解，然后再借助计算器或计算机，用二分法求出这个方程的近似解(精确度 0.1).,下面用二分法求方程的根的近似值.令f(x)3x24x1，作出 x，f(x)的对应值(如下表)与图(如图D25).,观察图象及表，可知：此方程有两个根，一个在区间(1,0)内，另一个在区间(1,2)内.若 x0(1,0)，取区间(1,0)的中点 x10.5，则 f(0.5)1.75.f(0.5)f(0)0，x0(0.5,0).再取区间(0.5,0)的中点 x20.25，,得 f(0.25)0.187 5，,图 D25,f(0.25)f(0)0，x0(0.25,0).同理，可得 x0(0.25，0.12
6、5)，x0(0.25，0.187 5)，x0(0.218 75，0.187 5)，由于|0.218 750.187 5|0.031 250.1，可以把 x00.218 75 作为方程 3x24x10 的一个根的近似值.同理，若 x0(1,2)时，方程的根的近似值为 1.531 25.,近似值为0.218 75 或 1.531 25.,给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤如下： 确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度； 求区间m，n的中点x1； 计算f(x1)：)若f(x1)0，则x1就是函数yf(x)的零点；)若f(m)f(x1)0，则令nx1此时零点x0(m，x1)
7、；)若f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n).,【变式与拓展】3.已知函数 f(x)lnx2x6.(1)证明函数 f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明函数 f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过,(1)证明：函数f(x)的定义域为(0，)， 设00， f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点. 又由(1)知f(x)在(0，)上是增函数，因此f(x)0至多有一个根，从而函数f(x)在(0，)上有且只有一个零点.,题型 3 二分法的实际应用【例 3】 如图 3-1-4，有一块边长为 15 cm 的正方形铁皮，将其四个角
8、各截去一个边长为 x cm 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.(1)求出盒子的体积 y 以 x 为自变量的函数解析式，并讨论其定义域；(2)如果要做成一个容积是 150 cm3 的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长 x 是多少(精确到,0.1 cm)?,图 3-1-4,思维突破：建立函数模型，然后转化为求方程的解，在精,确度要求的范围内选用二分法.,解：(1)y(152x)2x，x(0,7.5). (2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么小正方形的边长x就是方程(152x)2x150在x(0,7.5)内的解. 令f(x)(152x)2x150，x(0,7.5).由计算器可以确
9、定f(x)分别在(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程(152x)2x150分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解. 下面用二分法求方程的近似解： 取区间(0,1)的中点x10.5，计算得f(0.5)52， 所以零点x0(0.5,1)，,再取(0.5,1)的中点x20.75，可算得f(0.75)13.31，所以x0(0.75,1)，同理可得x0(0.75,0.875)，x0(0.812 5，0.875)，x0(0.843 75，0.875)，x0(0.843 75，0.859 375)，x0(0.843 75,0.851 562 5)，x0(0.843 75，0.847 656 2
10、5).所以方程在区间(0,1)内精确到0.1的近似解为0.8.同理可得，方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7.,所以如果做成一个容积为150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm或4.7 cm.,【变式与拓展】,4.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障.这是一条 10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？,解：首先从线路的中点查，用随身带的话机向两段测试，发现一半正常，另一半有故障，再从有故障的半段的中点查，排除一半，继续排查，每查一次，可以把待查的线路缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到 50 米100 米左右，即两根
11、电线杆附近，只要查 7 次就足够了.,(2,3)内的零点(精确到 0.1).,易错分析：未分清“精确度为”与“精确到”的区别.按“精确度为”求得的近似值不是唯一的，即若|ab|，则a，b上任何一个实数均可作为零点 x0 的所求近似值.而按“精确到”求得的近似值是唯一的，即此时(a，b)两端精确到的近似值相同.,解：函数在区间(2,3)上为增函数.,由题设，有 f(2)0.310，f(3)0.430.,由于 f(2)f(3)0，故函数 f(x)在区间(2,3)内有一个零点 x0，,即 x0(2,3).,值：,取区间(2,3)的中点x12.5，用计算器算得f(2.5)0.120，,由于 f(2)f
12、(2.5)0，所以 x0(2,2.5).,再取区间(2,2.5)的中点x22.25， 用计算器算得f(2.25)0.080， 由于f(2.25)f(2.5)0，所以x0(2.25,2.5). 同理可得x0(2.25,2.375)，x0(2.312 5，2.375)， x0(2.343 75,2.375)，x0(2.343 75，2.359 375)， x 0(2.343 75,2.351 562 5)，x0(2.343 75，2.347 656 25). 由于区间(2.343 75,2.347 656 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数f(x)在区间(2,3)内精确到0.1的零点的近似值为2.3.,方法规律小结二分法.,(1)适用条件：当函数图象在零点附近连续，且在该零点两侧的函数值异号时，才能应用二分法求函数零点的近似值.该条件表明二分法可求近似值的函数零点都是变号零点.(2)给定精确度，用二分法求 f(x)零点近似值的步骤：确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0；求区间(a，b)的中点 x1；,计算f(x1).若f(x1)0，则x1是函数的零点，若f(a)f(x1)0，则令bx1此时零点x0(a，x1)，若f(x1)f(b)0，则令ax1此时零点x0(x1，b)； 判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤.,
