1、2.3.4平面向量共线的坐标表示,【知识提炼】平面向量共线的坐标表示(1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_.(2)结论：当且仅当_时，向量a，b(b0)共线.,b0,x1y2-x2y1=0,【即时小测】1.思考下列问题.(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若ab，则必有x1y2=x2y1对吗？提示：对.根据两向量共线的坐标表示知正确.(2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若ab，是否有 成立？提示：由于 的意义与x1y2-x2y1=0的意义不同，前者不允许x2和y2为零，而后者允许，所以当向量a，b之一为零向量或向量a，b与坐标轴平行时，该等式不适
2、用.,2.下列各组向量中，共线的是()A.a=(-2，3)，b=(4，6)B.a=(2，3)，b=(3，2)C.a=(1，-2)，b=(7，14)D.a=(-3，2)，b=(6，-4)【解析】选D.由两向量共线的坐标表示知，对于D，(-3)(-4)-26=0，所以共线，其他均不满足.,3.已知a=(1，2)，b=(x，4)，若ab，则x等于()A.-B.C.-2D.2【解析】选D.因为ab，所以4-2x=0，所以x=2.,4.已知A(1，2)，B(2，-1)，写出一个与 平行且方向相反的向量a=_.【解析】因为 =(1，-3)，则与 平行且方向相反的向量a= (0)，则当=-1时，a=(-1，
3、3).答案：(-1，3)(答案不唯一),5.若A(3，-6)，B(-5，2)，C(6，y)三点共线，则y=_.【解析】 =(-8，8)， =(11，y-2)，则 ，所以-8(y-2)-811=0，解得y=-9.答案：-9,【知识探究】知识点 平面向量共线的坐标表示观察图形，回答下列问题：,问题1：前面所学的两个向量共线的条件是什么？是否可以转化为坐标形式？问题2：两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件 与x1y2-x2y1=0的适用情况有何不同？,【总结提升】两个向量共线条件的三种表示方法已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2).(1)当b0时，a=b.这是几何运算，体现了
4、向量a与b的长度及方向之间的关系.(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征.,(3)当x2y20时， .即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.,【题型探究】类型一 共线向量的判定【典例】1.已知向量a=(1，2)，b=(，1)，若(a+2b)(2a-2b)，则的值等于()A.B.C.1D.22.已知a=(1，2)，b=(-3，2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？,【解题探究】1.典例1中a+
5、2b，2a-2b的坐标怎样求出？提示：利用向量的数乘公式及加减法的坐标表示求解.2.两向量平行时，两向量间有怎样的关系？如何判断它们是同向还是反向？提示：两向量平行时，两向量之间存在实数倍关系，当实数大于零时，两向量同向；当实数小于零时，两向量反向.,【解析】1.选A.方法一：a+2b=(1，2)+2(，1)=(1+2，4)，2a-2b=2(1，2)-2(，1)=(2-2，2)，由(a+2b)(2a-2b)可得2(1+2)-4(2-2)=0，解得= .,方法二：假设a，b不共线，则由(a+2b)(2a-2b)可得a+2b=(2a-2b)，从而 方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与
6、a+2b(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以 即= .,2.方法一：ka+b=k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)，a-3b=(1，2)-3(-3，2)=(10，-4)，当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b)，即(k-3，2k+2)=(10，-4)，所以 解得k=- .,当k=- 时，ka+b与a-3b平行，这时因为=- 0，所以ka+b与a-3b反向.,方法二：由方法一知ka+b=(k-3，2k+2)，a-3b=(10，-4)，因为ka+b与a-3b平行，所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0，解得k=- .故ka+b与a-
7、3b反向.,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例2中的条件“a=(1，2)，b=(-3，2)”改为“b=(1，2)，a=(-3，2)”结果如何？【解析】ka+b=k(-3，2)+(1，2)=(-3k+1，2k+2)，a-3b=(-3，2)-3(1，2)=(-6，-4)，当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数，使ka+b=(a-3b)，,由(-3k+1，2k+2)=(-6，-4)，得 解得k=- .当k=- 时，ka+b与a-3b平行，这时 因为=- 0，所以ka+b与a-3b反向.,2.(改变问法)典例2中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a+kb与3a-b平行？”又如何求k的值？【解
8、析】a+kb=(1，2)+k(-3，2)=(1-3k，2+2k)，3a-b=3(1，2)-(-3，2)=(6，4)，因为a+kb与3a-b平行，所以(1-3k)4-(2+2k)6=0，解得k=- .,【方法技巧】向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a=b(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.,【补偿训练】已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，那么 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解析】因为 =(1-(-1)，3-(-1)=(2，4)， =(2-(-1)，5-(-1)=(3，6)，所以26-34=0，所以 所以 共线.又
9、 所以 的方向相同.,类型二 向量共线的坐标运算【典例】1.若点A(1，-3)， C(x，1)三点共线，则x的值为_.2.(2015张家界高一检测)已知向量a=(2，1)，b=(1，1)，c=(5，2)，m=b+c(为常数).(1)求a+b.(2)若a与m平行，求实数的值.,【解题探究】1.典例1中，A，B，C三点共线会得到哪些向量平行？提示：以A，B，C三点任意两点为端点的两个向量平行.2.典例2中，求实数的步骤是什么？提示：首先根据向量坐标运算法，用表示出m的坐标，然后依据am及向量共线的坐标表示列出关于的方程.最后解方程求出.,【解析】1. =(x-1，4)，因为A，B，C三点共线，所以
10、 共线，所以74- (x-1)=0，解得x=9.答案：9,2.(1)因为a=(2，1)，b=(1，1)，所以a+b=(2，1)+(1，1)=(3，2).(2)因为b=(1，1)，c=(5，2)，所以m=b+c=(1，1)+(5，2)=(+5，+2).又因为a=(2，1)，且a与m平行，所以2(+2)=+5，解得=1.,【方法技巧】1.三点共线的实质与证明策略(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点,2.利用向量平行的条件处理求值问题的
11、思路(1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.,【变式训练】设点A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时， 共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？,【解析】 =(2x，2)-(x，1)=(x，1)， =(1，2x)-(2x，2)=(1-2x，2x-2)， =(5，3x)-(1，2x)=(4，x)由 共线，所以x2=14，所以x=2.又 方向相同，所以x=2.此时， =(2，1)， =(-3，2)，而22-31，所以 不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，
12、D不在同一条直线上,类型三 共线向量在几何中的应用【典例】1.已知P1(2，-1)，P2(-1，3)，P在直线P1P2上，且则P点的坐标为_2.在AOB中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，AD与BC交于点M，求点M的坐标,【解题探究】1.典例1中由 如何确定P点的坐标？提示：设P点坐标为(x，y)，由 建立 x，y之间的等量关系.2.典例2中由AD与BC交于点M，能够确定哪两对向量是共线的？提示：由AD与BC交于点M，可以得到 共线， 共线.,【解析】1.因为 设P点坐标为(x，y)，则 =(x-2，y+1)， =(-1-x，3-y)所以(x-2，y+1)= (-1-x，3-y
13、)，所以 即 故P点坐标为 .答案：,2.因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以 =(0，5)， =(4，3).因为所以点C的坐标为 .同理可得点D的坐标为 .设点M的坐标为(x，y)，则 =(x，y-5)，而因为A，M，D三点共线，所以 共线.,所以- x-2(y-5)=0.即7x+4y=20.而因为C，M，B三点共线，所以 共线.所以即7x-16y=-20.由得x= ，y=2.所以点M的坐标为( ，2).,【延伸探究】若典例1中条件“ ”变为“ ”，则P点的坐标如何？【解析】(1)当 同向时，P点坐标为,(2)当 反向时，则有设P点坐标为(x，y)，所以(x-2，y+1)=-
14、 (-1-x，3-y)，所以 即 故P点坐标为(8，-9)综上可得，P点坐标为 或(8，-9).,【方法技巧】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤,【变式训练】已知A(-1，0)，B(3，-1)，C(1，2)，并且 求证：【证明】设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有因为 所以所以,因为,【补偿训练】1.ABC的三个内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，设向量p=(a+c，b)，q=(b，c-a)，若pq，则角C的大小为() 【解析】选C.因为pq，所以(a+c)(c-a)-bb=0，即c2=a2+b2，所以C= .,2.已知直角坐标平面上四点A(1，0)，B(4，3)，C(
15、2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形,【证明】由已知得， =(4，3)-(1，0)=(3，3)， =(0，2)-(2，4)=(-2，-2)因为3(-2)-3(-2)=0，所以 与 共线 =(-1，2)， =(2，4)-(4，3)=(-2，1)，因为(-1)1-2(-2)0，所以 与 不共线所以四边形ABCD是梯形因为 =(-2，1)， =(-1，2)，所以 即BC=AD.故四边形ABCD是等腰梯形,巧思妙解 利用共线向量的坐标表示求点的坐标【典例】(2015淄博高一检测)如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.,【常规解法】设P(
16、x，y)，分别过点C，P作x轴的垂线，垂足为E，F，如图所示.因为B(4，4)，PFAB， 又C(2，6)，PFCE，所以 即 解得x=y=3所以P(3，3).答案：(3，3),【巧妙解法】设P(x，y)，则 =(x，y)，且 =(4，4)，又 与 共线，所以x=y.又 =(x-4，y)， =(-2，6)，因为 共线，所以(x-4)6-y(-2)=0，解得x=y=3，所以P(3，3)即为所求答案：(3，3),【巧妙解法】设P(x，y)，则 =(x，y)，且 =(4，4)，又 共线，所以x=y.又 =(x-4，y)， =(-2，6)，因为 与 共线，所以(x-4)6-y(-2)=0，解得x=y=3，所以P(3，3)即为所求答案：(3，3),【方法指导】利用向量共线的坐标运算求点的坐标(1)共线向量的坐标运算：解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，利用向量共线的坐标运算，会使问题的解决更直观、方便.(2)方程思想的应用：在求点或向量的坐标运算中注意方程思想的应用，解题时充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据.,
