1、1.6三角函数模型的简单应用,【知识提炼】三角函数的应用(1)根据实际问题的图象求出函数解析式.(2)三角函数作为描述现实世界中_的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用搜集的数据，作出_，通过观察散点图进行_而得到函数模型.最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.,周期现象,散点图,函数拟合,【即时小测】1.思考下列问题(1)能用三角函数模型解决的实际问题中通常具有什么现象？提示：具有周期现象，如钟摆、潮汐等.(2)从实际问题中抽象建立起的函数模型，其自变量的取值范围有什么特点？提示：自变量的取值范围通常受到实际情境的影响.,2.做简谐运动的物体，其位
2、移随时间的变化规律为y=2sin(50t+ )cm，则它的周期为_s.【解析】T= =0.04.答案：0.04,3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要_s往复一次.【解析】由图象知周期T=0.8-0=0.8，则这个简谐运动需要0.8s往复一次.答案：0.8,4.某人的血压满足函数式f(t)=24sin160t+110，其中f(t)为血压，t为时间(单位：分钟)，则此人每分钟心跳的次数为_.【解析】因为 ，所以答案：80,5.如图，是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是_.,【解析】设y=Asin(t+)(0，| )，则A=2，
3、T= =2(0.5-0.1)=0.8，所以所以y=2sin( t+)，因为2=2sin( 0.1+)，所以sin( +)=1，所以= .所以答案：,【知识探究】知识点 三角函数模型的简单应用观察如图所示内容，回答下列问题：,问题1：三角函数应用题有几种模式？问题2：解三角函数模型应用问题的步骤是什么？,【总结提升】1.三角函数应用题的三种模式(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题.(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题.(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化
4、规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题.,2.三角函数模型应用的步骤(1)建模问题步骤：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点的三角函数值解决实际问题.(2)建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式.,3.三角函数模型应用注意点(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围.(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解.,【题型探究】类型一 三角函数图象与解析式的对应问题【典例】1.(2015青岛高一检测)函数y=f(x)=4cosx-e|x|(e为自然对数
5、的底数)的图象可能是(),2.已知函数y=sinax+b(a0)的图象如图所示，则函数y=loga(x+b)的图象可能是(),【解题探究】1.典例1中的函数有什么明显的性质？提示：函数定义域是R，且是偶函数.2.典例2中a1还是0a1？b的取值范围是什么？提示：由周期大于2知0a2，又a0所以0a1.当x=0时y=b，由图象知0b0，0)的图象.(1)试根据图象写出I=Asin(t+)的解析式.(2)为了使I=Asin(t+)(A0，0)中t在任意一段 秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值-A，那么正整数的最小值是多少？,【解析】(1)由图知，所以因为( ，0)是该函数图象的第一个点
6、(五点作图法)，所以 所以所以I=300sin(100t+ )(t0).(2)问题等价于T ，即所以200，所以最小的正整数为629.,【补偿训练】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s=6sin(2t+ ).(1)作出它的图象.(2)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？,【解析】(1)列表如下：描点作图：,(2)t=0时，s=3cm，此时离开平衡位置3厘米.(3)离开平衡位置6厘米.(4)因为T= =1，所以来回摆动一次所需的时间为1秒.,类型三 三角函数在实际
7、生活中的应用【典例】(2015宜昌高一检测)在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数：f(n)=100Acos(n+2)+k来刻画.其中：正整数n表示月份且n1，12，例如n=1时表示1月份；A和k是正整数，0，cos( +2)1，cos( +2)-1.统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：,每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递
8、增到8月份达到最多.(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式.(2)一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.,【解题探究】本例中参数A，k的计算顺序是什么？第(2)问可转化为什么数学模型？提示：先求A，再求k.第(2)问解不等式f(n)400.,【解析】(1)根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为(8-2)2=12，由此可得，由规律可知，f(n)max=f(8)=100A+100k，f(n)min=f(2)=-100A+100k，f(8)-f(2)=200A=400
9、A=2，又当n=2时f(2)=200cos( 2+2)+100k=100，所以k=3，综上可得，f(n)=200cos( n+2)+300，符合条件.,(2)由条件200cos( n+2)+300400，可得cos( n+2) 2k- n+22k+ ，kZ (2k- -2)n (2k+ -2)(kZ)12k-2- n12k+2- ，kZ，因为n1，12，nN*，所以当k=1时，6.18n1时，才对冲浪爱好者开放，所以y= cos t+11，cos t0，即2k- t2k+ (kZ)，得12k-3t12k+3(kZ)，又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时可以
10、进行活动，即9t0，0，0)，如图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y与时间t的大致图象.,(1)根据图象，求A，B的值.(2)若某日的供电量g(t)(万千瓦时)与时间t(小时)近似满足函数关系式g(t)=-1.5t+20(0t12).当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产，请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻(精确度0.1).,参考数据：,【审题指导】(1)要求A，B的值，可依据最大值、最小值计算A，B；依据周期及周期计算公式求；依据特殊点如点(0，2.5)解三角方程求.(2)先构建函数h(t)=f(t)-g(t)，再借助表格中的数据用二分法求h(t)的零点.,【规范解答】(1)由图知T=12，= ，1分,【题后悟道】1.审清题意读懂题目中的“文字”“图象”“符号”语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题.如本例“企业停产”提炼出函数h(t)=f(t)-g(t)=0，并用二分法求h(t)=0的近似根.,2.建立函数模型并恰当应用整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识及其他相关知识建立关系式，并解答得到的三角函数模型，最后将所得结论翻译成实际问题的答案，如本例依据题意，求出A，B的值.,
