1、1.5函数y=Asin(x+)的图象(二),【知识提炼】1.函数y=Asin(x+)，A0，0中参数的物理意义,A,x+,2.函数y=Asin(x+)(A0，0)的有关性质,R,-A,A,=k,【即时小测】1.判断(1)函数y= sin(x+)(0)的值域为 .( )(2)函数y=3sin(2x-5)的初相为5.( )(3)函数y=sin( )的一条对称轴方程为x= .( ),【解析】(1)正确.因为sin(x+)-1，1，故函数y= sin(x+)的值域为 .(2)错误.函数y=3sin(2x-5)的初相为-5.(3)错误.当x= 时y=sin( )1.答案：(1) (2) (3),2.函数
2、y=Asin(x+)+1(A0，0)的最大值为5，则A=( )A.5 B.-5 C.4 D.-4【解析】选C.因为A0，所以当sin(x+)=1时，ymax=A+1=5，所以A=4.,3.函数 的振幅为_，周期为_，频率为_.【解析】 的振幅为 ，周期为 ，频率为答案：,4.函数y=sin x+1的对称中心坐标为_.【解析】函数y=sin x+1的对称中心坐标为(k，1)，kZ.答案：(k，1)，kZ,5.函数f(x)=sin(x- )的图象的对称轴方程是_.【解析】由x- =k+ ，kZ得x=k+ ，kZ.函数f(x)=sin(x- )的图象的对称轴方程是x=k+ ，kZ.答案：x=k+ ，
3、kZ,【知识探究】知识点1 函数y=Asin(x+)(A0，0)中参数的物理意义观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：参数A，与简谐运动中哪些物理量有关？问题2：前面所学的图象变换分别与哪些物理量的变化有关？,【总结提升】1.对振幅、周期、频率及相位的说明(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅.(2)T：T= ，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期.(3)f： ，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率.(4)x+：称为相位；当x=0时的相位称为初相.,2.简记图象变换步骤(1)由y=sin x到y=sin(x+)的图象的变换称
4、为相位变换.(2)由y=sin x到y=sin x的图象的变换称为周期变换.(3)由y=sin x到y=Asin x的图象的变换称为振幅变换.因此函数y=sin x到y=Asin(x+)的图象的变换途径一般为：相位变换周期变换振幅变换.周期变换相位变换振幅变换.,知识点2 函数y=Asin(x+)(A0)的性质观察如图所示内容，回答下列问题：问题1：研究周期函数的性质的基本原则是什么？问题2：y=Asin(x+)的单调性、值域与u=x+，t=sin u，y=At的单调性、值域有什么关系？,【总结提升】研究函数y=Asin(x+)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时
5、，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数.(2)整体思想：研究当x，时的函数的值域时，应将x+看作一个整体，利用x，求出的范围，再结合y=sin 的图象求值域.,【题型探究】类型一 由图象求三角函数的解析式【典例】1.(2015合肥高一检测)如图所示为函数y=Asin(x+)+k在一个周期内的图象，则这个函数的一个解析式为( ),2.已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，| )在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数的解析式.(2)设0x且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和.,【解题探究】1.典例1中，A，k的值与最大(小
6、)值有什么关系？该函数的周期是多少？提示： 周期2.典例2中，A的值是多少？为求，可利用哪两个关系？提示：A=2，可依据点(0，1)和( ，0)在函数图象上列方程组求，.,【解析】1.选D.由图象可知由 得=2.所以y=2sin(2x+)-1.因为点 在函数图象上，所以 所以 ，kZ.可取= .故D正确.,2.(1)显然A=2，又图象过(0，1)点，所以f(0)=1，所以sin = ，因为| ，所以=所以f(x)=2sin(x+ ).又因为 在f(x)的图象上，所以所以 =k(kZ)，= (kZ).又因为 所以故=2.所以所求的函数的解析式为：f(x)=2sin(2x+ ).,(2)如图所示，
7、在同一坐标系中画出y=2sin(2x+ )和y=m(mR)的图象，由图可知，当-2m1或1m2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，所以m的取值范围为：-2m1或1m2；当-2m1时，两根和为当1m0，| ).,【解析】易知A=2，k=-1.设函数的周期为T，则 故所以点P(1，1)的坐标代入上式，得所以 (kZ)，=2k+ (kZ)，又|0，- 0，0，0)的部分图象如图所示，则A=_，=_，=_.,【解析】由图象知A=2， 故所以y=2sin( +)，又因为点( ，2)在函数图象上，所以所以 ，kZ，即=2k+ ，kZ，又00，0，0 )的周期为，且图象上一个最
8、低点为M( ，-2).求f(x)的解析式.【解析】由函数f(x)图象上一个最低点为M( ，-2)，得A=2，由周期T=，得由点M( ，-2)在图象上，得2sin( +)=-2，即sin( +)=-1，所以 +=2k- (kZ)，故=2k- (kZ)，又00)个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为( ),【解题探究】若函数y=sin(x+)是奇函数，则是什么样的角？提示：=k，kZ.,【解析】选A.函数y=sin(2x+ )的图象向左平移m个单位长度，得到函数y=sin2(x+m)+ =sin(2x+2m+ )的图象，由于所得函数是一个奇函数，所以2m+ =k，kZ.所以m= ，kZ
9、，故当k=1时，m取最小值,【延伸探究】本例条件中“奇”改为“偶”其他条件不变，结果如何？【解析】所得函数y=sin(2x+2m+ )是偶函数，则2m+ =k+ ，kZ，故m= ，kZ，当k=0时，m取最小值,角度2：三角函数的单调性【典例】(2015镇江高一检测)f(x)= sin 2x+1(0)在区间 上为增函数，则的最大值为_.【解题探究】本例中函数f(x)的单调递增区间与区间 有什么关系？提示：区间 包含于f(x)单调递增区间.,【解析】因y=sin x在每个闭区间 (kZ)上为增函数，f(x)= sin2x+1(0)在每个闭区间 (kZ)上为增函数，依题意知 对某个kZ成立，此时必有
10、k=0，于是 解得 ，故的最大值为 .答案：,角度3：三角函数的最大(小)值问题【典例】(2015南昌高一检测)若f(x)=2sin(x+)+m，对任意实数t都有f( +t)=f( -t)，且f( )=-3，则实数m的值等于_.【解题探究】本例中，由f( +t)=f( -t)可知函数f(x)图象具有什么特征？提示：x= 是函数f(x)图象的对称轴.,【解析】因为f( +t)=f( -t)，所以x= 是函数f(x)图象的对称轴，所以当x= 时，f(x)取最大值或最小值.所以f( )=2+m或f( )=-2+m，又f( )=-3，所以m=-5或m=-1.答案：-5或-1,【方法技巧】1.正弦余弦型
11、函数奇偶性的判断方法正弦型函数y=Asin(x+)和余弦型函数y=Acos(x+)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(x+)，当=k(kZ)时为奇函数，当=k (kZ)时为偶函数；对于函数y=Acos(x+)，当=k(kZ)时为偶函数，当=k (kZ)时为奇函数.,2.与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.(2)确定函数y=Asin(x+)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x+看作一个整体，可令“z=x+”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调
12、区间.,3.求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y=asin x+b(或y=acos x+b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(-1sin x(cos x)1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性.(2)求解形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令t=sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可.求解过程中要注意t=sin x(或cos x)的有界性.,【变式训练】1.(2015全国卷) 函数f(x)=cos(x+)的部
13、分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ),【解题指南】根据图象，利用五点法求出，的值，确定f(x)的解析式，求出f(x)的单调递减区间.,【解析】选D.由五点作图知， 解得=，= ，所以f(x)=cos(x+ )，令2kx+ 2k+，kZ，解得2k- x0，|)对任意实数t，都有f(t+ )=f(-t+ )，记g(x)=Acos(x+)-1，则g( )=( )【解析】选C.由题意知函数f(x)的一条对称轴为x= ，因此sin( +)=1，cos( +)=0，因此g( )=Acos( +)-1=-1.,规范解答 函数y=Asin(x+)的图象和性质【典例】(12分)(2015南昌高一检测
14、)设函数f(x)=sin(2x+)(-0)，y=f(x)图象的一条对称轴是x= .(1)求函数y=f(x)的单调增区间.(2)画出函数y=f(x)在区间0，上的图象.,【审题指导】(1)依据x= 是一条对称轴，求；依据正弦函数y=sin x的单调递增区间为2k- ，2k+ kZ，求f(x)的单调增区间.(2)用五点法画函数y=f(x)在0，上的图象.,【规范解答】(1)因为x= 是函数y=f(x)图象的对称轴.,【题后悟道】1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y=Asin(x+)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象.如本例先令2x- 取 ，画出 的图象，再依据图象变化的周期性适当“割”“补”得到0，上的图象.,2.函数y=Asin(x+)性质的应用(1)应用的范围：函数的单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等方面都有体现和考查.(2)解决的方法：有关函数y=Asin(x+)的性质的运用问题，充分利用三角函数的基本性质，要特别注意整体代换思想的运用.如本例求f(x)的单调递增区间由 kZ解得.,
