1、第2课时分段函数及映射,【自主预习】主题1：分段函数某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5千米以内(含5千米)，票价2元.(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算).,已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站.请根据以上内容，回答下面的问题：,1.从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)间的函数关系是什么？提示：当0x5时，y=2；当51，所以f(2)=-4+3=-10时，由a+1=4，得a=3.所以a=-2或3.,【互动探究】1.分段函数的定义域、值域与每段的定义域、值域有何关系？提示：分段函数的定义域是
2、每段定义域的并集.分段函数的值域是每段值域的并集.,2.从集合A到集合B的映射f：AB与从集合B到集合A的映射f：BA是不是相同映射？提示：映射f：AB与映射f：BA不是相同映射.3.映射一定是函数吗？函数一定是映射吗？提示：当集合A，B为非空数集时，映射就是函数，否则不是，但函数都是映射.,【探究总结】知识归纳：,方法总结：映射的判断方法(1)在A中取元素的任意性.(2)在B中对应元素的唯一性.注意事项：(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实.,【题型探究】类型一：分段函数的求值【典例1】(2016吉林高一检测)函数f(x)=则 的值为.,【解题指
3、南】先求 ，再求 .【解析】f(3)=32-3-3=3，所以 所以 答案：,【延伸探究】1.(改变问法)本例条件不变，求f(a)的值.【解析】当a1时，f(a)=1-a2，当a1时，f(a)=a2-a-3.,2.(增加条件)本例若增加条件f(a)+f(-1)=3，求a的值.【解析】因为-11时，f(a)+f(-1)=a2-a-3=3，即a2-a-6=0，所以a=3或a=-2(舍).所以a=3.,【规律总结】1.求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.特别地，当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值.,2.已知函数值求字母的值的四个步骤
4、(1)讨论：对字母的取值范围分类讨论.(2)代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中.(3)求解：通过解方程求出字母的值.(4)检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内.,【巩固训练】(2016广州高一检测)已知f(x)= 则f(2)+f(-2)的值为()A.8B.5C.4D.2,【解析】选B.f(2)=22=4，f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1)=1，所以f(2)+f(-2)=4+1=5.,类型二：分段函数的图象及应用问题【典例2】(1)(2016周口高一检测)下列图象是函数y= 的图象的是(),(2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城
5、市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.当0x200时，求函数v(x)的表达式.,【解题指南】(1)根据当x0时，y=x2，为抛物线的一段；当x0时，y=x-1为射线判断.(2)分0x20和20x200两种情况，分别求解析式，最后分段表示.,【解析】(1)选C.当x0时，y=x2，为抛物线y=x2在y轴左侧的部分，当x0时，y=x-1，为射线且与y
6、轴交于(0，-1).,(2)由题意，当0x20时，v(x)=60；当20x200时，设v(x)=ax+b.故函数v(x)的表达式为,【规律总结】(1)作分段函数图象的方法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不考虑范围的限制，作出其图象，再保留对应范围内的一段图象即可，作图时要特别注意衔接点处点的虚实，保证不重不漏.,(2)利用分段函数求解实际应用题的策略明确条件，将文字语言转化为数学语言；建立恰当的分段函数模型解决问题.,【巩固训练】(2015松原高一检测)“水”这个曾经被人认为取之不尽、用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，影响人民生活的程度，因为缺水，每年给
7、我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰着全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，,规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元；若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费；若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元).,【解析】由题意知，当0x5时，y=1.2x.当5x6时，y=1.25+(x-5)1.22=2.4x-6.当6x7时，y=1.25+(6-5)1.22+(x-6)1.24=4.8x-20.4.所以，
8、y=,类型三：映射的概念及应用【典例3】(1)(2016重庆高一检测)设集合A=x|1x2，B=y|1y4，则下述对应关系f中，不能构成A到B的映射的是()A.f：xy=x2B.f：xy=3x-2C.f：xy=-x+4D.f：xy=4-x2,(2)(2016吉安高一检测)已知集合A=B=R，xA，yB，f：xy=ax+b，若6和9在f作用下分别与4和10对应，则19在f作用下与对应.,【解题指南】(1)根据映射的定义，判断A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中是否都有唯一的元素与之对应.(2)根据6和9在f作用下与4和10对应，建立关于a，b的方程组，求出y=ax+b的解析式，再将x
9、=19代入可解y的值.,【解析】(1)选D.f：xy=x21，4；f：xy=3x-21，4；f：xy=-x+42，3 1，4；f：xy=4-x20，3.(2)由题意可得 解得 所以y=2x-8，当x=19时，y=30.答案：30,【规律总结】判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射，看两点：(1)任意性：集合A中任一元素在B中都有元素与之对应.(2)唯一性：对应应是多对一或一对一.,【巩固训练】(2016惠阳高一检测)下列分别为集合A到集合B的对应.其中，是从A到B的映射的是(),A.(1)(2)B.(1)(2)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)【解析】选A.映
10、射关系中可以是一对一的关系，可以是多对一的关系，不能是一对多的关系，因此(1)(2)构成映射关系.,【巩固训练】a，b为实数，集合A= ，B=a，0，f：x2x表示把集合A中的元素x映射到集合B中为2x，求a+b的值.,【解析】由题意，A中的元素1只能对应集合B中的a，故a=2，所以B=2，0，而A中的 可能对应B中的2或0.当 对应2时， =1，此时A中有两个相同元素，不合题意.当 对应0时，应有 =0，则b=0，此时A=0，1，符合题意.综上，a=2，b=0，a+b=2.,拓展类型：映射与函数的关系【典例】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，是不是从集合A到集合B的函数.(1)A=N
11、*，B=N*，对应关系f：x|x-3|.(2)A=平面内的圆，B=平面内的矩形，对应关系f：作圆的内接矩形.,(3)A=高一(1)班的男生，B=R，对应关系f：每个男生对应自己的身高.(4)A=x|0x2，B=y|0y6，对应关系f：xy= x.,【解题指南】根据映射与函数的概念，对每一小题逐一判断.【解析】(1)A中元素3在对应关系f的作用下为0，而0B，故不是映射，也不是函数.,(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射，也不是函数.(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，是集合A到集合B的映射，但集合A不是数集，故不是集合A到集合B的函数.,(4)因为A中每一个元素在f：xy= x作用下对应的元素构成集合C=y|0y1B，是A到B的映射，也是从集合A到集合B的函数.,【规律总结】判断对应是否为函数的两个关键点(1)两个集合是否为数集.(2)从集合A到集合B的对应是否为映射.,
