1、集合与函数概念,1.3函数的基本性质1.3.4函数的综合问题,1了解简单的分段函数，并能简单应用2理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义3会运用函数图象理解和研究函数的性质,基础梳理,1分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数，如函数f(x) 就是一个简单的分段函数. 在求分段函数的值f(x0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的解析式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集 2奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 3抽
2、象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质,4奇偶性与单调性的综合是重点问题例如：设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10且x1x20，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)大小不确定,解析：x2x10，f(x)是R上的偶函数，f(x1)f(x1)又f(x)在(0，)上是减函数，f(x2)f(x2)f(x1)答案：A,思考应用,1有同学认为分
3、段函数f(x) 是两个函数，这种看法正确吗？,解析： 这种看法不正确. 尽管看起来分段函数由多个解析式构成，但它实际上是一个函数，不是多个函数，它的图象是唯一确定的，但图象由多段组成的处理分段函数的有关问题时，必须根据不同的区间来选择相对应的函数解析式，这是解答分段函数问题的要点,2设函数f(x)在区间(a ,b)上是增函数，在区间b , c)上也是增函数，能说函数f(x)在区间(a , c)上是增函数吗？,解析：若函数f(x)在区间(a , c)上的图象是连续不断的一条曲线，则函数f(x)在区间(a , c)上是增函数否则，可能出现如图情况，此时，函数f(x)在区间(a , c)上不是增函数
4、,3我们知道，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数若函数f(x)的图象既关于原点对称，又关于y轴对称，这样的函数存在并且唯一吗？,解析：这样的函数是存在的，如函数f(x)0.但并不唯一，如函数f(x)0(1x1)，函数f(x)0(2x2)等， 这样的函数在每个点处的函数值都是0，但定义域可以是关于原点对称的任意一个数集,自测自评,2设函数f(x)对任意x、y满足：f(xy)f(x)f(y)，且f(2)4，则f(1)的值为()A2BC1D23若函数f(x)是定义在R上
5、的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使f(x)0的x的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，2)(2，) D(2,2),A,D,求分段函数的解析式,如下图，直角梯形OABC位于直线xt(0t5)右侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式,跟踪训练,1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为(),解析：法一：特殊取值法，若x56，y5，排除C、D，若x57，y6，排除A，选B.法二：设x10m(09)，06时
6、，答案：B,根据分段函数求值或求范围,设集合A 函数f(x) ，若x0A，且ff(x0)A，则x0的取值范围是(),点评：与分段函数结合考查简单不等式的求解等问题是高考命题的一个方向，这种题型具有一定的难度，值得同学们注意处理要点是将分段函数的解析式适当的放入对应的不等式中,跟踪训练,2已知函数 .其中f1(x) 1，f2(x)2x2.若x0 ，x1f(x0)， f(x1)x0，求x0的值,研究抽象函数的性质,设f(x) 定义于实数集上，当x0时，f(x)1 ，且对于任意实数x、y，有f(x y)f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数证明：由 f(x y) f(x)f(y)中取x y
7、0，得f(0)f2(0)，若f(0)0，令x0，y0，则 f(x)0，与f(x)1矛盾f(0)0，即有f(0)1.当x0时，f(x)10，当x0时，x0，f(x)10，,而f(x)f(x) f(0) 1，f(x) 0 .又当x 0 时，f(0) 10，xR，f(x)0.设 x1 x2 ，则x2 x1 0，f( x2 x1 )1. f( x2 ) f x1 ( x2 x1 ) f(x1 )f( x2 x1 )f( x1 ) y f(x) 在R上为增函数点评：抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联,跟踪训练,
8、3已知函数f(x)(xR，x0)对任意不等于零实数x1 、x2 都有f(x1 x2 ) f(x1 ) f(x2 )，试判断函数f(x) 的奇偶性,解析：取x1 1，x2 1得：f(1)f(1)f(1)，f(1)0.又取x1 x2 1得：f(1) f(1) f(1)，f(1)0.再取x1 x，x2 1则有f(x)f(x)f(1)，即f(x)f(x)，f(x)的定义域关于原点对称，f(x)为偶函数,一、选择填空题1如果f(x)是定义在R上的偶函数，它在0，)上是减函数，那么下述式子中正确的是(),B,2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为()A1B0C1 D2,解析：f(x)为R上奇函数，f(0)0.f(x2)f(x)，f(6)f(42)f(4)f(22)f(2)f(0)0.答案：B,1函数是数学的核心内容，构造函数是应用函数知识的关键，大多数函数均可找到函数表达式2函数的定义域是函数的第一要素，一般研究任何函数从研究定义域开始，最终结果也要符合定义域的要求，实际问题中定义域要根据实际情况确定3大多数函数均要考察函数的单调性，非常规函数的单调性需要利用定义证明4函数的图象是获取函数性质的捷径，一般做函数题在可能的情况下尽量画出函数图象5注意单调性、函数值、奇偶性的图形特征和综合应用,祝,您,学业有成,
