1、1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数,第一课时,问题提出,1.角的概念是由几个要素构成的，具体怎样理解？,（1）角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.,（2）按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，没有作任何旋转形成的角为零角.,（3）角的大小是任意的.,2.什么叫做1弧度的角？度与弧度是怎样换算的？,（1）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.,3. 与角终边相同的角的一般表达式是什么？,4.如图，在直角三角形ABC中，sin，cos，tan分别叫做角的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？,5.当角不是锐角时，
2、我们必须对sin，cos，tan的值进行推广，以适应任意角的需要.,知识探究（一）：任意角的三角函数,思考1：为了研究方便，我们把锐角放到直角坐标系中，并使角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角的终边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，sin，cos，tan的值分别如何表示？,思考2：对于确定的角，上述三个比值是否随点P在角的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？,思考3：为了使sin，cos的表示式更简单，你认为点P的位置选在何处最好？此时，sin，cos分别等于什么？,思考4：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于角的终边上一点P，
3、要使|OP|=1，点P的位置如何确定？,思考5：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），为了不与当为锐角时的三角函数值发生矛盾，你认为sin，cos，tan对应的值应分别如何定义？,思考6：对于一个任意给定的角，按照上述定义，对应的sin，cos，tan的值是否存在？是否惟一？,思考8：若点P（x，y）为角终边上任意一点，那么sin，cos，tan对应的函数值分别等于什么？,知识探究（二）：三角函数符号与公式,思考2：设是一个任意的象限角，那么当在第一、二、三、四象限时，sin的取值符号分别如何？cos，tan的取值符号分别如何？,思考4：如果角与的终边相同，那么sin与sin有什
4、么关系？cos与cos有什么关系？tan与tan有什么关系？,思考5：上述结论表明，终边相同的角的同名三角函数值相等，如何将这个性质用一组数学公式表达？,公式一：,思考6：若sin=sin，则角与的终边一定相同吗？,思考7：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？,思考8：函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？,理论迁移,例1 求 的正弦、余弦和正切值.,例2 已知角的终边过点P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值.,小结作业,1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.,2.三角函数的定义是三角函数的理论基础，三角函
5、数的定义域、函数值符号、公式一等，都是在此基础上推导出来的.,4.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.,3.若已知角的一个三角函数符号，则角所在的象限有两种可能；若已知角的两个三角函数符号，则角所在的象限就惟一确定.,作业：P15 练习：1，2，5，7.,3，4，6 做在书上,1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数,第二课时,问题提出,1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别
6、如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.,终边相同的角的同名三角函数值相等.,知识探究（一）：正弦线和余弦线,思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，应如何规定线段的正方向和负方向？,规定：线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.,思考4：规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用
7、有向线段MP、OM表示，即MP= sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,思考5：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角的正弦线和余弦线.当角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？,思考6：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sincos1吗？,MPOMOP=1,知识探究（二）：正切线,思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan.,思考6：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的含义如何？,当角的终边在x轴上时
8、，角的正切线是一个点；当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在.,思考8：对于不等式（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,理论迁移,例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：,（1） ； （2） ；（3） ； （4） .,小结作业,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.,2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A（1，0）.,3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.,作业：P17 练习：1，2.P21习题1.2A组：5，7.,再见,
