1、第六节 双 曲 线,1.双曲线的定义,|MF1|-|MF2|,2.双曲线的标准方程和几何性质,xa或x-a,y-a或ya,坐标轴,原点,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),c2=a2+b2,2a,2b,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )（2）平面内到点F1（0，4）,F2（0，-4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )（3）方程 （mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ),（4）双曲线方程 （m0,n0,0）的渐近线方程是 即 ( )（5）等轴双曲线的
2、渐近线互相垂直，离心率等于 ( )（6）若双曲线 (a0,b0)与 (a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则 （此结论中两条双曲线为共轭双曲线）.( ),【解析】（1）错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.（2）错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.（3）错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0,n0,b0)的渐近线方程为y= x即 ，当0时， (m0,n0)的渐近线方程为 .即 ，亦即 同理当0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,c= a，,（6）正确.双曲线 (a0,b0
3、)的离心率 同理答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是( )(A) (B) (x4)(C) (D) (x3),【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且60,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_.【解析】由已知e= =2,c=2a. 又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1. 由得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,双曲线C的方程为答案：,考向 1 双曲线的定义 【典例1】（1）（2012辽宁高考）已知双曲线x2-y2=1
4、，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|+|PF2|的值为_.（2）（2013揭阳模拟）已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.,【思路点拨】（1）利用双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,再根据PF1PF2，及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,联立方程求出|PF1|，|PF2|，从而求解.（2）根据椭圆的定义得出动点F满足的等式，再根据三定点间关系，得到动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.,【规范解答】（1）不妨设|PF1|PF
5、2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，c= ，由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2 由已知条件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8 上述两式联立，解得|PF1|= +1,|PF2|= -1,故|PF1|+|PF2|=2 .答案：2,（2）由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为： (y-1).,【互动探究】本例(1)中“P
6、F1PF2”改为“F1PF2=60”，结果如何？【解析】不妨设|PF1|PF2|，由双曲线方程x2-y2=1 ，知a=b=1, c= ,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4 又F1PF2=60,由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8 -得|PF1|PF2|=4 ,代入得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|=4+24=12.= =,【拓展提升】1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另外，还
7、经常结合|PF1|-|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量的范围.,【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.【解析】因为x2-y2=8，所以2a=4 ，由题设及双曲线的定义得:|PF2|-|PF1|=4 ，|QF2|-|QF1|=4 ，,所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=8 ,即|PF
8、2|+|QF2|-|PQ|=8 ,又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+8 ,因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+8 .答案：14+8,考向 2 双曲线的标准方程和几何性质【典例2】（1）（2012湖南高考）已知双曲线C： (a0,b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )(A) (B)(C) (D),（2）（2012浙江高考改编）如图，F1,F2分别是双曲线C：(a0,b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是
9、_.,【思路点拨】（1）先根据双曲线的几何性质，由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，从而由a2+b2=c2，求出a，b，得方程.（2）利用双曲线的几何性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.,【规范解答】（1）选A. 的焦距为10，c=5= 又双曲线渐近线方程为y= x，且P(2,1)在渐近线上， =1，即a=2b 由解得a=2 ，b= ，所以方程为 .,（2）设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0);B(0,b),点F1，B所在直线为双曲线渐近线方程为y= x,由 得Q( )，由得P
10、( ),PQ的中点坐标为( ).由a2+b2=c2得，PQ的中点坐标可化为( )，直线F1B的斜率为 ,PQ的垂直平分线为令y=0，得 M( ),|F2M|=由|MF2|=|F1F2|得 即3a2=2c2,答案：,【拓展提升】1.利用待定系数法设双曲线方程的技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 (mn0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便.,(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，再根据其他条件确定的值.(3)与双曲线 有相同的渐近线的双曲线
11、方程可设为 （0），再根据其他条件确定的值.,2.双曲线的几何性质的关注点（1）“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点.（2）“四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线.（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形.,3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意 及判断焦点的位置.(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，当焦点不确定时，m= 或m= ，因此离心率有两种可能.【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.,【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为2x3y
12、=0.（1）求该双曲线的离心率.（2）若双曲线经过点P（ ,2），求双曲线的方程.【解析】（1）当焦点在x轴上时， 即所以 解得当焦点在y轴上时， 即 所以 解得 ，即双曲线的离心率为 或 .,（2）由双曲线的渐近线方程为2x3y=0,可设双曲线方程为4x2-9y2=(0).双曲线过点P( ,2),46-94=,=-12,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12,即,考向 3 双曲线与直线及其他圆锥曲线的综合 【典例3】（1）（2012新课标全国卷）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点， |AB|4 ,则C的实轴长为( )(A) (B)2 (C)4
13、 (D)8（2）（2013中山模拟）已知双曲线 （a0,b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆： 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_.,【思路点拨】（1）设出等轴双曲线方程，与抛物线准线方程联立，求得A，B两点坐标，利用|AB|4 构建方程求解.（2）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.,【规范解答】（1）选C.不妨设点A的纵坐标大于零.设C： (a0),抛物线y2=16x的准线为x=-4,联立得方程组解得： 解得a=2,2a=4.C的实轴长为4.,（2）圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x
14、-3)2+y2=4.所以其圆心C(3,0),半径r=2,双曲线 的渐近线方程是：bxay=0,又渐近线与圆相切，所以 又椭圆 的焦点为(-3,0),(3,0),双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9 由得b=2,c=3,a2=5.双曲线的标准方程为： .答案：,【拓展提升】1.解决简单直线与双曲线位置关系问题的方法（1）通法：将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0）代入双曲线E的方程F（x,y)=0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题.,（2）点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的
15、中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解.【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即0.,2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略（1）以图助解，数形结合.（2）各个击破.,【变式训练】已知双曲线E的中心为原点，F(3,0）是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15），则E的方程为( )(A) (B)(C) (D),【解析】选B.设双曲线的方程为 (a0,b0)，由题意知c=3,a2+b2=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有： 两式作差得：又直线AB的斜率是
16、所以4b2=5a2，将4b2=5a2与a2+b2=9联立，解得a2=4,b2=5，所以双曲线的方程为 .,【易错误区】忽略讨论双曲线的焦点位置致误 【典例】（2013揭阳模拟）已知双曲线 (mn0)的一条渐近线方程为y= x，则该双曲线的离心率e为_.【误区警示】本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上，不讨论焦点位置而丢解.,【规范解答】当m0,n0时，当m0，n0,b0)与双曲线C2: 有相同的渐近线，且C1的右焦点为F( ,0)，则a=_,b=_.【解析】由题意可得 解得：a=1,b=2.答案：1 2,5.（2013湛江模拟）如图，已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F恰好是双曲线 的右焦点
17、,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率是_.,【解析】由已知得 即p=2c 又两条曲线的交点的连线过F,可得交点坐标为（ ,p），（ ，-p）.即点（ ,p）在双曲线 上，所以有 由得:b2c2-4a2c2=a2b2 ,又b2=c2-a2，代入整理得c4-6a2c2+a4=0，解得：又双曲线的离心率e= 1, 得答案：,1.如图，F2为双曲线 (a0,b0)的右焦点，E为OF2中点，过双曲线左顶点A作两渐近线的平行线分别与y轴交于C,D两点，B为双曲线右顶点.若四边形ACBD的内切圆经过点E，则双曲线的离心率为( )(A)2 (B) (C) (D),【解析】选C.由题意得：直线AD的
18、方程为：y= (x+a),即:bx-ay+ab=0,因为直线AD与四边形ACBD的内切圆相切，故双曲线的离心率为故选C.,2.以双曲线 (a0,b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线( )(A)相交 (B)相离 (C)相切 (D)不确定【解析】选C.由已知双曲线的左焦点F为渐近线方程为y= x,即bxay=0.圆心F到渐近线的距离又圆F的半径为b,所以圆F与双曲线的渐近线相切.,3.已知双曲线 (a0,b0)的焦距为2 ，一条渐近线平分圆x2+y2-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为_.【解析】由已知2c=2 ,c= ,又渐近线bx+ay=0过圆(x-2)2+(y+1)2=5的圆心(2,-1).有2b-a=0,即a=2b.又a2+b2=5,即(2b)2+b2=5,解得b=1,a=2,所以双曲线的标准方程为答案：,
