1、第2课时椭圆方程及性质的应用,【题型示范】类型一 直线与椭圆的位置关系【典例1】(1)若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共点，则m的取值范围为_(2)判断直线l: 和椭圆2x2+3y2=6是否有公共点.,【解题探究】1.题(1)中直线y=kx+1是否恒过定点？若恒过定点，过哪个定点？当点在什么位置时，经过该点的直线总与椭圆有公共点？2.题(2)判断直线是否与椭圆有公共点，常用什么方法？【探究提示】1.恒过定点(0,1)，当点在椭圆上或在椭圆内部时，经过该点的直线与椭圆总有公共点.2.判断直线与椭圆是否有公共点，往往利用判别式的符号进行判断.,【自主解答】(1)方法一:由 消去y,整理得
2、(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0,所以=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).因为直线与椭圆总有公共点,所以0对任意kR都成立.因为m0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1.又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5,所以1m0,m(m-4)0,所以0m0),短半轴长为b(b0),则2b=4,由解得a=4,b=2.因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为 或,设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去y,得5x2+2mx+m2-16=0,由题意，得=(2m)2-20(m2-16)0,且因为|AB|=,所以解
3、得m=2,验证知0成立，所以直线l的方程为x-y+2=0或x-y-2=0.,【方法技巧】1.直线与椭圆相交弦的弦长问题直线与椭圆相交有关弦的问题,主要思路是联立直线和椭圆的方程,得到一元二次方程,然后借助一元二次方程的有关知识解决,有时运用弦长公式,解题时应注意以下几点:(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标
4、公式解决.,(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下： 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 (ab0)上的两个不同的点，M(x0,y0)是线段AB的中点，则,由-，得 变形得 即(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0,y0)，设其一交点为A(x，y)，则另一交点为B(2x0-x，2y0-y)，则两式作差即得所求直线方程.,【变式训练】直线y=x+1被椭圆 所截得的弦的中点坐标是( )【解析】选C.由 消去y,得3x2+4x-2=0,设弦的两端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),中点坐标
5、为(x中，y中)，则x1+x2= 所以x中=从而y中=x中+1=所以中点坐标为,【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 截得的弦长为_.【解析】由 消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.所以弦长=答案：,类型三 与椭圆有关的综合问题【典例3】(1)椭圆 (ab0)与直线x+y=1交于P，Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点，则 =_.,(2)(2014成都高二检测)已知椭圆 (ab0)的离心率为 短轴的一个端点到右焦点的距离为 直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B.求椭圆的方程；若坐标原点O到直线
6、l的距离为 求AOB面积的最大值.,【解题探究】1.题(1)中一般将条件OPOQ转化为什么？2.题(2)中求AOB面积的最大值，关键是求什么？【探究提示】1.条件OPOQ，一般转化为向量 来处理.2.关键是求|AB|的最大值.,【自主解答】(1)设P(x1,y1)，Q(x2，y2)，由OPOQ x1x2+y1y2=0.因为y1=1-x1,y2=1-x2,代入上式得：2x1x2-(x1+x2)+1=0 (*)又将y=1-x代入 (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，因为0，所以x1+x2= x1x2= 代入(*)化简得答案：2,(2)由 所以 b=1,所以椭圆的方程为:由已知 所以
7、联立l:y=kx+m和消去y,整理可得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,所以=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2= (k0),当且仅当 时取等号，验证知 满足题意，显然k=0时，|AB|2=3b0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|.(1)若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|.(2)若cosAF2B= ,求椭圆E的离心率.,【解题指南】(1)利用椭圆的定义求解.(2)设|BF1|=k,用a,k表示|AF2|,|BF2|,利用余弦定
8、理解ABF2得出等腰RtAF1F2,从而得到a,c的关系式.【解析】(1)由|AF1|=3|BF1|,|AB|=4,得|AF1|=3,|BF1|=1,因为ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8,故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.,(2)设|BF1|=k,则k0,且|AF1|=3k,|AB|=4k,由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|BF2|cosAF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)(2a-k),化简
9、可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k0,故a=3k,于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,因此|BF2|2=|AF2|2+|AB|2F1AF2A,故AF1F2为等腰直角三角形,【补偿训练】已知椭圆G： (ab0)的离心率为右焦点为 斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(-3,2).(1)求椭圆G的方程.(2)求PAB的面积.,【解析】(1)由已知得解得 又b2=a2-c2=4,所以椭圆G的方程为(2)设直线l的方程为y=x+m，由 得4x2+6mx+3m2-12=0 ,设A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB
10、的中点为E(x0,y0),则因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率 解得m=2.此时方程为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0,所以y1=-1,y2=2.,所以此时，点P(-3,2)到直线AB：x-y+2=0的距离所以PAB的面积,【拓展类型】椭圆中的最值问题【备选例题】(1)斜率为1的直线l与椭圆 相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_.(2)(2012辽宁高考)如图，动圆C1:x2+y2=t2,1t0,所以,设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则所以|AB|=当t=0时，|AB|为最大，即|AB|max=,方法二：根据椭圆的对称性，当直线斜率
11、固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y=x代入 得交点坐标为 和 故答案：,(2)设A(x0,y0)(-3x00)，则矩形ABCD的面积S=4|x0y0|.由 得从而当 时，Smax=6.从而t= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.,由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知直线AA1的方程为 直线A2B的方程为 由得 又点A(x0,y0)在椭圆C上，故 将代入得 (x-3,y0).因此点M的轨迹方程为 (x-3,yb0)的左焦点为F,离心率为 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为(1)求椭圆的方程.(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过
12、点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若 求k的值.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤,得高分,【点题】警误区,促提升失分点1:解题时,若求不出直线与椭圆交点的纵坐标,即得不出处,则会导致求不出椭圆方程而本例不得分.失分点2:若在处化简整理结果时错误,则会导致下面运算全部错误,本例最多能得6分.失分点3:若在处向量的运算不能转化为坐标间关系,则得不出关于k的等量关系而失34分.,【悟题】提措施,导方向1.加强运算能力的培养椭圆的综合问题,一般涉及的运算量较大,因此在平时学习中,要多注重运算能力的培养,防止因运算错误而失分,如本例(1)(2)问求解时,都涉及较大的运算量.,2.向量关系
13、的应用在解析几何中，向量的运算常通过坐标的运算来实现，对向量相等、向量的数量积、共线向量的坐标表示要熟练掌握，如本例 是建立关于k的方程的关键.,【类题试解】(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 (1)求椭圆C的方程.(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为 的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设 求实数t的值.,【解析】(1)设椭圆C的方程为 (ab0)，由题意知 解得 因此椭圆C的方程为,(2)当ABx轴时，设A(x0,y0),B(x0,y0)，由 得 或由 =t(x0,0)=(tx0,0),得P(tx0,0)，又P在椭圆上，所以 所以 或所以t=2或 (舍去负值).,当AB不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，显然m0，代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m21)=0. (*)由三角形面积公式知， |xAyBxByA|= |xA(kxB+m)xB(kxA+m)|= |m|xAxB|=所以，|xAxB|= (xA+xB)24xAxB= 即,整理得， 又 所以， 即将其代入椭圆方程得 整理可得，1+2k2=m2t2, ,联立，消去1+2k2，约分掉m2，移项整理得，3t416t2+16=0，解之可得，t2=4或 均能使(*)式的0，所以t=2或 (舍去负值).综上，t=2或,
