1、3.3.2函数的极值与导数,【自主预习】主题:函数极值的概念及求法观察图象回答下面问题,1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.,2.f(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?提示:f(a)=0,在点x=a附近的左侧f(x)0.,3.函数在点x=b处的情况呢?提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.,通过以上问题的探究,你能得到什么结论?用文字语言描述:函数在图象拐弯处的导数值等于0,且在
2、该处左右两侧的导数值异号时取得极值.,用图形语言描述:,极大(小)值的概念:(1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且_,在点x=a附近的左侧_,右侧_,则a叫做极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,f(a)=0,f(x)0,(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且_,在点x=b附近的左侧_,右侧_,则b叫做极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.,f(b)=0,f(x)0,f(x)0得x2,由f(x)0得0x0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,注意事项:1.极值概念:极
3、值是一个局部概念,反映了函数值在某一点附近的大小情况.2.区别:极值点是自变量的值,极值指的是函数值.3.大小关系:函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值.,4.极值点的位置:函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.,【题型探究】类型一:求函数的极值【典例1】求函数f(x)= +3lnx的极值.【解题指南】首先确定函数的定义域,再对函数求导,解导数方程,判断方程根左右两侧的符号,求极值.,【解析】函数f(x)= +3lnx的定义域为(0,+),f(x)=令f(x)=0,得x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:,因此当x=1时,f(x)有
4、极小值f(1)=3.,【规律总结】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f(x).(2)解方程:求方程f(x)=0的根.(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.,(4)检测判断:检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.,【巩固训练】1.求函数y=2x+ 的极值.【解析】函数的定义域为(-,0)(0,+).y=2- ,令y=0,得x=2.当x变化时,y,y的变化情况如下表
5、:,由表知:当x=-2时,y极大值=-8;当x=2时,y极小值=8.,2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f(x),且f(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程.(2)求函数f(x)的极值.,【解析】(1)因为f(x)=3x2+2ax-9,因为f(2)=15,所以12+4a-9=15,所以a=3.所以f(x)=x3+3x2-9x,所以f(x)=3x2+6x-9,所以f(0)=0,f(0)=-9,所以函数在x=0处的切线方程为y=-9x.,(2)令f(x)=0,得x=-3或x=1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:,即函数f(x)在(-,-3)上单调
6、递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x=-3时,f(x)有极大值27,当x=1时,f(x)有极小值-5.,类型二:利用函数极值求参数的值【典例2】(2016四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=( )A.-4 B.-2 C.4 D.2,【解题指南】求出f(x)，解出方程f(x)=0的根，再根据不等式f(x)0,f(x)0的解集得出函数的极值点.,【解析】选D.f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2)，令f(x)=0，得x=-2或x=2，易知f(x)在(-2,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，故f(x)的极小值为f(2)，所以a=2.
7、,【规律总结】(1)求参数值:利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.,(2)检验:因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.,【巩固训练】(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=- 处取得极值.(1)确定a的值.(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.,【解析】(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.因为f(x)在x=- 处取得极值,所以解得a= .经检验满足题意.,(2)由(1)知g(x)= ex,所以g(x)= x(x+1)(x+4)
8、ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为增函数;综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,类型三:函数极值的综合应用【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程为.(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.,【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利用导数求出切线斜率,最后得切线方程.(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图象
9、有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.,【解析】(1)f(x)=ex+xex=ex(1+x),令f(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,因为f(-1)=-e-1=- ,所以切点为 .因为切线斜率为0,所以所求得切线方程为y=- .答案:y=-,(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.当x0;,当-11时,f(x)0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.,作出f(x)的
10、大致图象如图所示:,因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).,【延伸探究】1.(变换条件,改变问法)若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?,【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;当m1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.,2.(变换条件)若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x= 处取得极值”,其他条件不变,求m的取值范围.,【解析】由题意可得f(x)=-3x2+2ax,由f =0,可得a
11、=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,则f(x)=-3x2+4x.令f(x)=0,得x=0或x= ,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以m的取值范围是,【规律总结】1.三次函数有极值的充要条件三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.,2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数;若a0时,若a0,则f(x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a0),当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;,当x=1,或x=3时,(x)=0.所以(x)极大值=(1)=m-7,(x)极小值=(3)=m+6ln3-15.因为当x充分接近0时,(x)0.,所以要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 即7m15-6ln3.所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).,
