1、2.2 双 曲 线2.2.1 双曲线及其标准方程,【自主预习】主题1:双曲线的定义1.取一条拉链,拉开一部分,然后固定拉后的两边,让一边长另一边短,用笔尖放在拉链处,随着拉链拉开的过程,笔尖画出的是什么曲线?,提示:是两支曲线,若左边短右边长,画出的是左支,若右边短左边长,画出的是右支.,2.在画出双支曲线(双曲线)的过程中有哪些不变的量?用文字语言描述:两边的长度差不变,即动点到两定点的距离差不变.用符号语言描述:_(其中_为动点,_为定点,_为定长),|MF1|-|MF2|=2a,M,F1,F2,2a,双曲线的定义:_.,平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝,对值等于非零常数(小于|F1
2、F2|)的点的轨迹叫做双曲,线,两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做,双曲线的焦距,主题2:双曲线的标准方程1.根据双曲线的几何特征,如何建立坐标系求双曲线的方程?提示:选择x轴(或y轴)经过两个定点F1,F2,并且使坐标原点为线段F1F2的中点,然后按求轨迹方程的直接法的步骤,求出双曲线的方程.,2.若以两焦点F1,F2所在直线为x轴,以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系,则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么?提示:根据双曲线的定义知满足条件|MF1|-|MF2| =2a(a为定长).,通过以上探究请写出双曲线的标准方程焦点在x轴上: _(a0,b0)焦点在y轴上:_
3、(a0,b0)a,b,c的关系:c2=_,a2+b2,【深度思考】结合教材P54例1,你认为如何根据条件求双曲线的方程?第一步:_.第二步:_.第三步:_.第四步:_.,先确定焦点位置,设出标准方程,寻求题目条件中a,b,c的等量关系,求a,b的值,得标准方程,【预习小测】1.动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线,【解析】选C.因为|PM|-|PN|=2=|MN|,所以点P的轨迹是两条射线.,【备选训练】已知A(-3,0),B(3,0),若动点M满足|MA|-|MB|=4,则M的轨迹方程是(),【解析
4、】选A.根据双曲线的定义知,动点M的轨迹是双曲线,焦点在x轴上,a=2,c=3,所以b2=5.所以轨迹方程为,2.若方程 表示焦点在y轴上的双曲线,则m的取值范围是()A.12C.m-2D.-2m2【解析】选C.由 得m0,b0),由题意得, 解得a2=5,b2=1,故所求双曲线方程为,【互动探究】1.双曲线的定义中规定“距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)”,若不满足,会是什么结果?提示:若常数等于|F1F2|,则轨迹为以F1,F2为端点的两条射线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在.,2.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是什么?提示:确定参数a,b的值.,3.求双曲线的标
5、准方程时,设出双曲线方程的关键是什么?提示:关键是先确定焦点的位置,若双曲线的焦点位置不能确定,要分别写出焦点在x轴、y轴上的双曲线的标准方程,不能遗漏.,【探究总结】知识归纳:,方法总结:双曲线方程的求法1.待定系数法:即通过设出标准方程,然后依条件确定待定的系数a,b的方法2.定义法:即若动点的几何特征适合双曲线的定义,求出a,b代入标准方程的方法.,【题型探究】类型一:求双曲线的标准方程【典例1】(1)(2016嘉兴高二检测)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为_.,(2)动圆M与C:(x+2
6、)2+y2=2内切,且过点A(2,0),求圆心M的轨迹方程.,【解题指南】(1)由题意焦点在y轴上,设出标准方程利用待定系数法求解.(2)利用两圆内切和圆过定点,可以得到点M满足的条件,进而判断符合双曲线的定义.,【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为 =1(a0,b0).因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5.所以b2=52-32=16.所以所求双曲线标准方程为 答案:,(2)设动圆M的半径为r,因为C与M内切,点A在C外,所以|MC|=r- ,|MA|=r,因此有|MA|-|MC|= ,所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹方程是,【延伸探究】
7、(变换条件)本典例(2)改为动圆M与C1:x2+(y-1)2=1和C2:x2+(y+1)2=4都外切,求圆心M的轨迹方程.,【解析】因为M与C1,C2均外切,所以|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,因此有|MC2|-|MC1|=1,所以点M的轨迹是以C2,C1为焦点的双曲线的上支,所以M的轨迹方程是,(变换条件)本典例(2)中条件改为动圆M与C1:(x+3)2+y2=9外切,且与C2:(x-3)2+y2=1内切,求圆心M的轨迹方程.,【解析】因为M与C1外切,且M与C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|-|MC2|=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲
8、线的右支,所以M的轨迹方程是 =1(x2).,【规律总结】1.待定系数法求方程的步骤(1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.,(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).与双曲线 =1共焦点的双曲线的标准方程可设为 =1(-b20,b0),又双曲线经过点(0,2)与( ),所以双曲线方程为,(2)因为焦点在x轴上,c= 所以设所求双曲线方程为 =1(其中06).因为双曲线经过点(-5,2),所以 所以=5或=30(舍去),所以所求双曲线方程是 -y2=1.,类型二:双曲线定义的应用【典例2
9、】已知F1,F2是双曲线 =1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32.试求F1PF2的面积.【解题指南】由条件知|PF2|-|PF1|=6,再利用余弦定理得F1PF2的边角关系,进而求得面积.,【解析】由已知得,a=3,b=4,c= =5,所以2c=10,2a=6.因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100.,在F1PF2中,由余弦定理,得cosF1PF2= 所以F1PF2=90,所以,【延伸探究】1.(变换
10、条件,改变结论)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10,求点P到焦点F2的距离.,【解析】由双曲线的标准方程 =1,可知a=3,b=4,c= =5.由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2a=6,则|PF2|-10|=6,解得|PF2|=4或|PF2|=16.,2.(变换条件)把题设条件“|PF1|PF2|=32”换成“|PF1|PF2|=25”,试求F1PF2的面积.【解析】由|PF1|PF2|=25,|PF2|-|PF1|=6,可知|PF2|=10,|PF1|=4.所以,【规律总结】双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|P
11、F1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有,(1)定义:|r1-r2|=2a.(2)余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos.(3)面积公式: 一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.,【补偿训练】设P为双曲线x2- =1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|PF2|=32,则PF1F2的面积为_.,【解析】由已知得2a=2,又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|PF2|=32,所以|PF1|=6,|PF2|=4,又|F1F2|=2c=,由余弦定理得cosF1PF2= 所以PF1F2为直角三
12、角形,所以 64=12.答案:12,类型三:双曲线标准方程的应用【典例3】(1)在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程的曲线是()A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线,(2)已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.,【解题指南】(1)把方程化为标准方程再确定曲线类型.(2)解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论.,【解析】(1)选D.方程mx2-my2=n可化为: 因为mn0,所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.,(2)当k=0时,y=2,表示两条与x轴平行的直线.当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心在原点,半径为2的圆.当k0,所以-m2n3m2，由双曲线性质知：c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2，其中c是半焦距，所以焦距2c=22|m|=4，解得|m|=1,所以-1n0.所以(k+1)(k-1)0.所以-1k1.答案:-1k1,
