1、2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质,【自主预习】主题1:椭圆的范围、对称性、顶点1.观察下列图形,回答以下几个问题:,(1)已知椭圆方程讨论椭圆性质时,首先要关注椭圆的方程要满足什么形式?提示:先看椭圆方程是否是标准形式,若不是标准形式要先化成标准形式.,(2)观察椭圆 的形状,你能从图上看出横坐标x,纵坐标y的范围吗?提示:由 得:-axa,-byb.,2.观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆,探究下列问题,明确椭圆的几何特征.,(1)对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形,长轴、短轴有何不同点与相同点.提示:相同点:两图长轴长与短轴长分别相等;不同点:长轴与短轴所在位置不同
2、.,(2)椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系?提示:椭圆的中心是焦点连线的中点,对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线.,(3)若要画一个椭圆的草图,需先确定哪些量才能画出椭圆草图?提示:首先确定椭圆的范围,可利用椭圆的四个顶点及焦点位置用弧线画出椭圆的草图.,通过以上探究过程,请你完成下表,-axa且-byb,-bxb且-aya,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0),2b,2a,2c,坐标轴,原点,主题2:椭圆的离心率,观察不同的椭圆,我们会发现,椭圆的扁平程度不一.对于椭圆 =1(ab0),其扁平
3、程度取决于什么?用文字语言描述:椭圆的扁平程度,在长轴长不变的前 提下,取决于两焦点离开中心的程度, 即离开中心越远,椭圆越扁,反之,越 圆.,用符号语言描述:e=_.离心率:_称为椭圆的离 心率,用_表示,即_且_.,椭圆的焦距2c与长轴长2a的比,e,0e1,【深度思考】结合教材P40例4,你认为如何根据不同的已知条件求椭圆的离心率?(1)_.(2)_.,(3)_.(4)_.,若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的,方程(不等式)求值(范围),【预习小测】1.椭圆 =1的长轴长为()A.81B.9C.18D.45【解析】选C.由标准方程知a=9,故长轴长2a=18.,2.椭圆 具有
4、相同的()A.顶点B.离心率C.长轴D.短轴,【解析】选B.椭圆 =1的离心率e1= 椭圆 的离心率e2=,3.椭圆的四个顶点构成的菱形的面积为10,两个焦点与短轴的两个顶点构成的菱形的面积为5,则椭圆的离心率为()【解析】选C.依题意有2ab=10,2bc=5,所以e=,4.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F( ,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是_.【解析】已知 答案:,5.已知长方形ABCD中,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过C,D的椭圆的离心率为_.【解析】AB=2c=4,因为点C在椭圆上,所以|CB|+|CA|=2a=3+5=8,所以e= 答案:,6.求椭圆x
5、2+9y2=81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标(仿照教材P40例4解析过程).,【解析】把已知方程化为标准方程 =1,于是a=9,b=3, 所以椭圆的长轴长2a=18,短轴长2b=6,离心率 两个焦点坐标分别为F1( ,0),F2( ,0),四个顶点坐标分别为A1(-9,0),A2(9,0),B1(0,-3),B2(0,3).,【互动探究】1.在椭圆的上述性质中,哪些是与位置无关的?哪些是与位置有关的?提示:与位置无关的,如长轴长、短轴长、焦距;与位置有关的,如顶点坐标、焦点坐标等.,2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?提示:可以,由于 故,【探究总结】知识归纳:,方法总结:利用性质
6、画椭圆草图的方法1.定位:依焦点.2.定形:依四个顶点或a,b的值.,【题型探究】类型一:椭圆的简单几何性质【典例1】(1)(2016温州高二检测)平面内有一长度为4的线段AB,动点P满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是()A.1,5B.1,6C.2,5D.2,6,(2)若点O和点F分别为椭圆 =1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 的最大值为_.,【解题指南】(1)由已知可得动点P的轨迹为椭圆,根据椭圆的几何性质可求解.(2)设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.,【解析】(1)选A.由题意知点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,所以当点P与A是同侧
7、顶点时,|PA|最小是3-2=1,当点P是与A异侧的顶点时,|PA|的最大值是3+2=5.,(2)由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有 解得 因为 =(x0+1,y0), =(x0,y0),所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2x02,所以当x0=2时, 取得最大值 +2+3=6.答案:6,【规律总结】椭圆几何性质的四个作用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置.(2)椭圆的顶点决定椭圆的大小.(3)椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度.,(4)对称性是椭圆的重要特征,顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭圆的标准方程,则根据a,b的值可确定其性质.,【巩固
8、训练】已知椭圆 =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,则 的取值范围是_.,【解析】由 =1,得 设P(x0,y0),则 所以 ,又 =1,所以 代入,所以 因为0x029,所以0 5,所以-1 4,所以 -1,4.答案:-1,4,【补偿训练】已知椭圆C: +y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0 1,则|PF1|+|PF2|的取值范围为_.,【解析】由于0 1,所以点P(x0,y0)在椭圆 +y2=1内部,且不能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|b0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆
9、与y轴正半轴的交点,且ABOP(O是坐标原点),求该椭圆的离心率.,【解题指南】(1)点M是直线AE和直线BM的交点，点M的横坐标和左焦点相同，进而找到a,b,c的联系.(2)利用ABOP建立关于a，b，c的齐次等式求解.,【解析】(1)选A.由题意可知直线AE的斜率存在，设为k,直线AE的方程为y=k(x+a),令x=0可得点E坐标为(0,ka),所以OE的中点H坐标为 又右顶点B(a,0),所以可得直线BM的斜率为- ，可设其方程为y=- x+ a，联立 可得点M横坐标为,- ，又点M的横坐标和左焦点相同，所以- =-c,所以e= .,(2)由题意设P(-c,y0),将P(-c,y0)代入
10、 得 =1,则 所以y0= 或y0= (舍去),所以 所以kOP= 因为A(a,0),B(0,b),所以kAB=,又因为ABOP,所以kAB=kOP,所以 所以b=c.所以,【规律总结】求椭圆的离心率的两种常见思路一是先求a,c,再计算e.二是依据条件中的关系,结合有关知识和a,b,c的关系,构造关于e的方程,再求解.注意e的范围:0eb0)上任意一点,左右两焦点分别为F1,F2,则:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.,2.椭圆的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 (0eb0),对应焦点F(c,0)的准线方程是 根据对称性,对应焦点F(-c,0)的准
11、线方程是 对于椭圆 的准线方程是可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.,【巩固训练】(2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1(ab0)的右焦点，直线y= 与椭圆交于B，C两点，且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,【解析】将直线y= 与椭圆的方程联立得 F(c,0),则kBF=,因为BFC=90，所以kBFkCF= 整理得b2=3a2-4c2，所以a2-c2=3a2-4c2，即3c2=2a2e=答案:,【补偿训练】1.如图所示,A,B,C分别为椭圆 =1(ab0)的顶点与焦点,若ABC=90,则该椭圆的离心率为(),【解析】选A.由(a+c)2=a2+2b2+c2,又因为b2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0.因为e= 所以e2+e-1=0,所以,2.已知B1,B2为椭圆短轴的两个端点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若四边形B1F1B2F2为正方形,则椭圆的离心率为_.【解析】由已知得b=c= 所以 答案:,
