1、1课时跟踪检测（十八） 简单的线性规划问题层级一 学业水平达标1若变量 x， y满足约束条件Error!则 x2 y的最大值是_解析：作出题设约束条件的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 l0： x2 y0 至点 A时， x2 y取得最大值由Error! Error!可得( x2 y)max 2 .13 23 53答案：532已知 a0， x， y满足约束条件Error!若 z2 x y的最小值为 1，则 a等于_解析：由已知约束条件，作出可行域如图中 ABC内部及边界部分，由目标函数 z2 x y的几何意义为直线l： y2 x z在 y轴上的截距，知当直线 l过可行域内的点A(1，2 a)
2、时，目标函数 z2 x y的最小值为 1，则22 a1， a .12答案：123已知实数 x， y满足不等式组Error!若目标函数 z y ax取得最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数 a的取值范围为_解析：作出如图可行域，由 z y ax得 y ax z可知，直线在 y轴上的截距最大时，z最大，结合图象可知，在 A(1,3)处取得最大值，需 a1.答案：(1，)4若变量 x， y满足约束条件Error!则 z x2 y的最大值为_解析：如图，画出约束条件表示的可行域，当目标函数z x2 y经过 x y0 与 x y20 的交点 A(1，1)时，取到最大值 3.答案：35如图所示，点(
3、x， y)在四边形 ABCD内部和边界上运动，那么 2x y的最小值为_2解析：由图知，目标函数在点 A(1,1)时，2 x y1；在点 B( ， )时，2 x y2 1；3 2 3 2在点 C( ，1)时，2 x y2 11；5 5在点 D(1,0)时，2 x y2021，故最小值为 1.答案：16已知实数 x， y满足Error!若 z y ax取得最大值时的最优解( x， y)有无数个，则a的值为_解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示要使 z y ax取得最大值时的最优解( x， y)有无数个，则直线 z y ax必平行于直线 y x10，于是有 a1.答案：1
4、7如果实数 x， y满足条件Error!那么 z4 x2y的最大值为_解析：可行域为如图所示的阴影部分， A， B， C三点的坐标分别为(1,0)，(2，1)，(0，1)，直线 y2 x t过点B(2，1)时， t取得最大值 3，故 z4 x2y2 2 x y的最大值为 8.答案：88设变量 x， y满足约束条件Error!且不等式 x2 y14 恒成立，则实数 a的取值范围是_解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然 a8，否则可行域无意义由图可知 x2 y在点(6， a6)处取得最大值 2a6，由2a614 得， a10.答案：8,109直线 l： x my n(n0)过点 A
5、(4,4 )，若可行域Error!的3外接圆直径为 .求实数 n的值1433解：作出可行域如图所示，过原点的直线 OA的倾斜角为 60，由直线 l： x my n(n0)过点 A(4，4 )，可得 44 m n.又由3 3Error!可解得两直线的交点坐标即为 A(4,4 )，3又点 B坐标为( n,0)，3 ，ABsin 601433 AB7，(4 n)2(4 )249，3 n3 或 5.10已知 x， y满足条件：Error!求：(1)4x3 y的最大值和最小值；(2)x2 y2的最大值和最小值解：(1)作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示其中 A(4,1)， B(1，6)， C(3
6、,2)，设 z4 x3 y.直线 4x3 y0 经过原点(0,0)作一组与 4x3 y0 平行的直线 l：4 x3 y t.则当 l过 C点时， t值最小；当 l过 B点时， t值最大 z 最大值 4(1)3(6)14，z 最小值 4(3)3218.故 4x3 y的最大值为 14，最小值为18.(2)设 u x2 y2，则 为点( x， y)到原点(0,0)的距离结合不等式组所表示的区域，u不难知道：点 B到原点距离最大；而当( x， y)在原点时，距离为 0. u 最大值 (1) 2(6) 237， u 最小值 0， x2 y2的最大值为 37，最小值为 0.层级二 应试能力达标1设 D为不
7、等式组Error!所表示的平面区域，区域 D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1，0)到直线 2x y0 的距离最小， d 0， a1)的图象过区域 M的 a的取值范围是_解析：作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)， C(3,8)当 y ax过 A(1,9)时， a取最大值，此时 a9；当 y ax过 C(3,8)时， a取最小值，此时 a2，2 a9.答案：2,95设变量 x， y满足约束条件Error!则满足函数 y2 x t的 t最大值为_解析：由约束条件作出可行域如图所示，可知( x， y)是由点
8、A(1,0)， B(2,1)，C(2，1)三点组成的三角形区域，令 t2 x y，即当经过C(2，1)时， t有最大值 5.答案：56若变量 x， y满足约束条件Error!且 z5 y x的最大值为a，最小值为 b，则 loga( b)_.解析：由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分由 z5 y x，得 y .x5 z55由图知目标函数 y ，过点 A(8,0)时， zmin5 y x5088，即 b8.x5 z5目标函数 y 过点 B(4,4)时， zmax5 y x54416，即 a16.所以x5 z5loga( b)log 168 .34答案：347某玩具生产公司每天计划生产卫兵、
9、骑兵、伞兵这三种玩具共 100个，生产一个卫兵需 5分钟，生产一个骑兵需 7分钟，生产一个伞兵需 4分钟，已知总生产时间不超过 10小时若生产一个卫兵可获利润 5元，生产一个骑兵可获利润 6元，生产一个伞兵可获利润 3元(1)试用每天生产的卫兵个数 x与骑兵个数 y表示每天的利润 (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 x y，所以利润 5 x6 y3(100 x y)2 x3 y300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为 2 x3 y300，作出可行域，如图所示，作初始直线 l0：2 x3 y0，
10、平移 l0，当 l0经过点 A时， 有最大值，由Error! 得Error!最优解为 A(50,50)，此时 max550 元故每天生产卫兵 50个，骑兵 50个，伞兵 0个时利润最大，且最大利润为 550元8已知 x， y满足约束条件Error!(1)求目标函数 z2 x y的最大值和最小值；(2)若目标函数 z ax y取得最大值的最优解有无穷多个，求 a的值；(3)求 z 的取值范围y 5x 5解：作可行域如图所示(1)作直线 l：2 x y0，并平移此直线，当平移直线过可6行域内的 A点时， z取最小值；当平移直线过可行域内的 B点时， z取得最大值由Error! 得 A .(1，53
11、)由Error! 得 B(5,3) zmax25313， zmin21 .53 113(2)一般情况下，当 z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线 z ax y平行于直线 3x5 y30 时，线段 BC上的任意一点均使 z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个又 kBC ， a . a .35 35 35(3)z ，可看作区域内的点( x， y)与点 D(5，5)连线的斜率，y 5x 5 y 5x 5由图可知， kBD z kCD.由Error!得 C .(1，275) kBD ， kCD ，3 55 5 45 275 51 5 2615 z 的取值范围是 .y 5x 5 45， 2615
