1、18.1 坐标系与参数方程命题角度 1 极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 高考真题体验对方向1.(2018 全国 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos - 3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程 .解 (1)由 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为( x+1)2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2 的圆 .由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴
2、对称的两条射线 .记 y 轴右边的射线为 l1,y 轴左边的射线为 l2,由于 B 在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点 .当 l1与 C2只有一个公共点时, A 到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=-|-+2|2+1或 k=0.经检验 ,当 k=0 时, l1与 C2没有公共点;当 k=- 时 ,l1与 C2只有一个公共点, l2与 C243 43有两个公共点 .当 l2与 C2只有一个公共点时, A 到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2
3、,故 k=0 或|+2|2+1k= ,经检验,当 k=0 时, l1与 C2没有公共点;当 k= 时, l2与 C2没有公共点 .43 43综上,所求 C1的方程为 y=- |x|+2.432.(2018 全国 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),=2,=4直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .=1+,=2+2(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率 .解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 =1.24+216当 cos 0 时, l 的直角坐标方程为 y=tan x+2-tan ,当
4、 cos = 0 时, l 的直角坐标方程为 x=1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(1+3cos2 )t2+4(2cos + sin )t-8=0, 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以 有两个解,设为 t1,t2,则t1+t2=0.又由 得 t1+t2=- ,故 2cos + sin = 0,于是直线 l 的斜率 k=tan 4(2+)1+32=- 2.3.(2018 全国 22)在平面直角坐标系 xOy 中, O 的参数方程为 ( 为参数),=,=过点(0, - )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A,B 两点
5、.2(1)求 的取值范围;(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 .解 (1) O 的直角坐标方程为 x2+y2=1.当 = 时, l 与 O 交于两点 .2当 时,记 tan =k ,则 l 的方程为 y=kx- ,l 与 O 交于两点当且仅当2 21,即 或 .(4,2) (2,34)综上, 的取值范围是 .(4,34)(2)l 的参数方程为 t 为参数, 0),M 的极坐标为( 1, )( 10).由题设知 |OP|= ,|OM|= 1= .4由 |OM|OP|=16 得 C2的极坐标方程 = 4cos ( 0).因此 C2的直角坐标方程为( x-2)2+y2=4(x0) .(2)设
6、点 B 的极坐标为( B, )( B0).由题设知 |OA|=2, B=4cos ,于是 OAB 面积S= |OA| Bsin AOB124=4cos |(-3)|=2 2 + .|(2-3)- 32| 3当 =- 时, S 取得最大值 2+ .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2+ .36.(2016 全国 23)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) .以=3,=,坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin=2 .(+4) 2(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)设点 P 在 C1上,点 Q 在 C
7、2上,求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 .解 (1)C1的普通方程为 +y2=1.C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.23(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为( cos ,sin ).3因为 C2是直线,所以 |PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d( )的最小值,d( )=|3+-4|2= .2|(+3)-2|当且仅当 = 2k + (kZ)时, d( )取得最小值,最小值为 ,此时 P 的直角坐标为6 2.(32,12)新题演练提能刷高分1.(2018 安徽淮南一模)已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点=4+5,=5+5为极点, x 轴的正半轴为极轴建立
8、极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 = 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 0).在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:= 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在C3上,求 a.解 (1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心, a 为半径的圆 .将 x= cos ,y= sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标
9、方程为 2-2 sin + 1-a2=0.(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 2-2+1-2=0,=4. 若 0,由方程组得 16cos2- 8sin cos + 1-a2=0,由已知 tan = 2,可得 16cos2- 8sin cos = 0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去), a=1.a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上,所以 a=1.3.(2016 全国 23)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为( x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;(2)直线 l 的参数方程是 (t
10、为参数), l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|= ,求 l 的斜=,=, 10率 .9解 (1)由 x= cos ,y= sin 可得圆 C 的极坐标方程 2+12 cos + 11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 = ( R) .设 A,B 所对应的极径分别为 1, 2,将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2+12 cos + 11=0.于是 1+ 2=-12cos , 1 2=11.|AB|=| 1- 2|= (1+2)2-412= .1442-44由 |AB|= 得 cos2= ,tan = .1038 153所以 l 的斜率为 或 -
11、.153 153新题演练提能刷高分1.(2018 安徽江淮十校 4 月联考)平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线=3,=C2的极坐标方程为 = 4sin + .6(1)写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若射线 OM:= 0( 0)平分曲线 C2,且与曲线 C1交于点 A,曲线 C1上的点 B 满足 AOB= ,求 |AB|.2解 (1)曲线 C1的直角坐标方程是 +y2=1,化成极坐标方程为 2= ;23 31+22曲线 C2的直角坐标方程是( x-1)2+(y- )2=4.
12、3(2)曲线 C2是圆,射线 OM 过圆心,所以方程是 = ( 0),3代入 2= ,31+22得 2=65又 AOB= ,所以 =2,2 2因此 |AB|= .2+2=4552.(2018 江西南昌一模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 (=2,=2+2为参数),以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求 C 的极坐标方程;10(2)若直线 l1,l2的极坐标方程分别为 = ( R), = ( R),设直线 l1,l2与曲线 C6 23的交点为 O,M,N,求 OMN 的面积 .解 (1)由参数方程 得普通方程 x2+(y-2)2=4,=2,=2+2
13、,所以极坐标方程 2cos2+ 2sin2- 4 sin = 0,即 = 4sin .(2)直线 l1:= ( R)与曲线 C 的交点为 O,M,得 M=|OM|=4sin =2,6 6又直线 l2:= ( R)与曲线 C 的交点为 O,N,得 N=|ON|=4sin =2 ,23 23 3且 MON= ,所以 S OMN= |OM|ON|= 22 =2 .2 12 12 3 33.(2018 河北石家庄一模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为(r0, 为参数),以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,=3+,=1+直线 l 的极坐标方程为 sin =1,若
14、直线 l 与曲线 C 相切 .(-3)(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)在曲线 C 上取两点 M,N 与原点 O 构成 MON,且满足 MON= ,求 MON 面积的最大值 .6解 (1)由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y= x+2,3曲线 C 是圆心为( ,1),半径为 r 的圆,直线 l 与曲线 C 相切,可得 r=3=2;|33-1+2|2可知曲线 C 的方程为( x- )2+(y-1)2=4,3所以曲线 C 的极坐标方程为 2-2 cos - 2 sin = 0,3即 = 4sin .(+3)(2)由(1)不妨设 M( 1, ),N ( 10, 20),S MON= | |sin (2,+6) 12| 1 2=4sin sin =2sin cos + 2 cos26=14 (+3) (+2) 3=sin 2 + cos 2 + =2sin 2 + .3 3 (2+3)+3 3所以 MON 面积的最大值为 2+ .3
