1、12.3 导数与积分命题角度 1导数的运算与几何意义 高考真题体验对方向1.(2018全国 5)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x答案 D解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.2.(2016山东10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函
2、数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T性质 .下列函数中具有 T性质的是 ( )A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3答案 A解析 当 y=sin x时, y=cos x,因为 cos 0cos =-1,所以在函数 y=sin x图象存在两点 x=0,x= 使条件成立,故 A正确;函数 y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选 A.3.(2018全国 13)曲线 y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 答案 y=2x解析 y= , 当 x=0时, y=2,2+1 曲线在(0,0)处的切线方程为 y=2x.4.
3、(2018全国 14)直线 y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为 -2,则 a= . 答案 -3解析 设 f(x)=(ax+1)ex,f (x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f (x)=(ax+1)ex在(0,1)处的切线斜率 k=f(0)=a+1=-2,a=- 3.25.(2016全国 16)若直线 y=kx+b是曲线 y=ln x+2的切线,也是曲线 y=ln(x+1)的切线,则 b= . 答案 1-ln 2解析 对函数 y=ln x+2求导,得 y= ,对函数 y=ln(x+1)求导,得 y= .设直线 y=kx+b1 1+1与曲线 y=ln x+2相切
4、于点 P1(x1,y1),与曲线 y=ln(x+1)相切于点 P2(x2,y2),则 y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点 P1(x1,y1)在切线上,得 y-(ln x1+2)= (x-x1),由点 P2(x2,y2)在切线11上,得 y-ln(x2+1)= (x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,12+1所以11= 12+1,(2+1)= 1+ 22+1+1,解得 x1= ,12所以 k= =2,b=ln x1+2-1=1-ln 2.116.(2015陕西15)设曲线 y=ex在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x0)上点 P处的切线垂直,1则 P的坐标为 . 答案 (
5、1,1)解析 曲线 y=ex在点(0,1)处的切线斜率 k=y=ex|x=0=1;由 y= ,可得 y=- ,因为曲线1 12y= (x0)在点 P处的切线与曲线 y=ex在点(0,1)处的切线垂直 ,故 - =-1,解得 xP=1,由 y= ,得1 12 1yP=1,故所求点 P的坐标为(1,1) .新题演练提能刷高分1.(2018江西第二次检测)已知函数 f(x)=ln(ax-1)的导函数是 f(x),且 f(2)=2,则实数 a的值为( )A. B. C. D.112 23 34答案 B解析 f (x)= , =2,a= ,选 B.-1 2-1 232.(2018重庆二诊)曲线 xy-x
6、+2y-5=0在点 A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )3A.9 B. C. D.496 92 113答案 B解析 由 xy-x+2y-5=0,得 y=f(x)= ,+5+2f (x)= ,f (1)=- .-3(+2)2 13 曲线在点 A(1,2)处的切线方程为 y-2=- (x-1).13令 x=0,得 y= ;令 y=0,得 x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为73S= 7= .1273 4963.(2018辽宁大连一模)过曲线 y=ex上一点 P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在 y轴上的截距小于 0,则 x0的取值范围是( )A.(0,+ ) B
7、. ,+1C.(1,+ ) D.(2,+ )答案 C解析 y=ex,y=ex,切线斜率为 ,切线方程为 y-y0= (x-x0),当 x=0时, y=-x0 +y0=-x00 0 0(1-x0)1,则 x0的取值范围是(1, + ),故选 C.0+0=04.(2018山西太原一模)函数 y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是 . 答案 2x-y+1=0解析 函数 y=ex+sin x,y= ex+cos x,y| x=0=e0+cos 0=2, 函数 y=ex+sin x在点(0,1)处的切线方程是 y-1=2x,即 2x-y+1=0.5.(2018海南二模)已知函数 f(x)的导函
8、数为 f(x),且满足关系式 f(x)=3xf(2)+ln x,则f(1)的值等于 . 答案 14解析 由 f(x)=3xf(2)+ln x,可得 f(x)=3f(2)+ ,1f (2)=3f(2)+ ,解得 f(2)=- ,12 14f (1)=3f(2)+1= .146.(2018陕西质量检测)已知函数 f(x)=2ln x和直线 l:2x-y+6=0,若点 P是函数 f(x)图象上的一点,则点 P到直线 l的距离的最小值为 . 答案 8554解析 设直线 y=2x+m与函数 f(x)的图象相切于点 P(x0,y0)(x00).f(x)= ,则 f(x0)= =2,解得 x=1.2 20P
9、 (1,0).则点 P到直线 2x-y+6=0的距离 d= .|21-0+6|22+(-1)2=855即为点 P到直线 2x-y+6=0的距离的最小值 .命题角度 2导数与函数的单调性、极值和最值 高考真题体验对方向1.(2017浙江7)函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )答案 D解析 设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x10,f(x)是增函数,所以函数 y=f(x)的图象可能为 D,故选 D.2.(2017全国 11)若 x=-2是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为(
10、 )A.-1 B.-2e-3C.5e-3 D.1答案 A解析 由题意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为 x=-2是函数 f(x)的极值点,5所以 f(-2)=0.所以 a=-1.所以 f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以 f(x)=(x2+x-2)ex-1.令 f(x)=0,解得 x1=-2,x2=1.当 x变化时, f(x),f(x)的变化情况如下表:x(- ,-2)-2(-2,1)1 (1,+ )f(x)+ 0 - 0 +f(x) 极大值极小值所以当 x=1时, f(x)有极小值,并且极小值为 f(1)=(1-1-
11、1)e1-1=-1,故选 A.3.(2017山东15)若函数 exf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M性质 .下列函数中所有具有 M性质的函数的序号为 . f (x)=2-x f (x)=3-x f (x)=x3 f (x)=x2+2答案 解析 对 ,设 g(x)=ex2-x,则 g(x)=ex(2-+2- 12)=ex2-x 0,(1+ 12)g (x)在 R上单调递增,具有 M性质;对 ,设 g(x)=ex3-x,则 g(x)=ex(3-+3- 13)=ex3-x 0,g (x)0,g (x)在 R上单调递增,具有 M性
12、质 .故填 .新题演练提能刷高分1.(2018安徽安庆二模)已知函数 f(x)=2ef(e)ln x- (e是自然对数的底数),则 f(x)的极大值为( )6A.2e-1 B.-1C.1 D.2ln 2答案 D解析 f (x)= ,2() 1f (e)= ,f (e)= ,2() 1 1f (x)= .令 f(x)=0,则 x=2e.21x (0,2e)时, f(x)0,f(x)单调递增;x(2e, + )时, f(x)f(x),在下列不等关系中,一定成立的是( )A.ef(1)f(2) B.ef(1)ef(2) D.f(1)(2)2 ef(1)f(2),故选 A.4.(2018河南中原名校质
13、量考评)已知 f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax在(0, + )上是增函数,12则实数 a的取值范围是( )A.1 B.-1C.(0,1 D.-1,0)答案 B解析 f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax,f(x)=2(x+a)ln x,12已知 f(x)在(0, + )上是增函数,f (x)0 在(0, + )上恒成立,当 x=1时, f(x)=0满足题意 .当 x1时,ln x0,要使 f(x)0 恒成立,则 x+a0 恒成立,x+a 1+a, 1+a0,解得 a -1.当 0f(x)cos x(其中 f(x)为函数 f(x)的导函数),则下列不等式成立的是(
14、)A.f f4 2 6 4 2 6C.f f D.f f(x)cos x,f (x)sin x-f(x)cos x0,F (x)0,y=F (x)在(0,)内为单调递增函数 .8F F ,即 ,即 f f ,故选 B.4 6(4) 4(6) 6 4 2 66.(2018山东菏泽一模)已知函数 f(x)=x3-ax+2的极大值为 4,若函数 g(x)=f(x)+mx在( -3,a-1)上的极小值不大于 m-1,则实数 m的取值范围是( )A. -9,- B. -9,-154 154C. - ,+ D.(- ,-9)154答案 B解析 f (x)=3x2-a,当 a0 时, f(x)0, f(x)
15、无极值;当 a0时,易得 f(x)在 x=- 处取得极大值,3则有 f - =4,即 a=3,3于是 g(x)=x3+(m-3)x+2,g(x)=3x2+(m-3).当 m-30 时, g(x)0, g(x)在( -3,2)上不存在极小值 .当 m-30时,函数 f(x)单调递增,当 f(x)4时,函数 y=f(x)的图象在 y=f(x)图象的下方,满足 f(x)4,故选 D.8.(2018云南昆明质检)已知函数 f(x)= +k(ln x-x),若 x=1是函数 f(x)的唯一极值点,则实数 k的取值范围是( )A.(- ,e B.(- ,e)C.(-e,+ ) D.-e,+ )答案 B解析
16、 由函数 f(x)= +k(ln x-x),可得 f(x)= + -1 = -k ,已知 -2 1 -1 f(x)有唯一极值点 x=1,f (x)=0有唯一解 x=1. -k=0无解,即 y=k与 g(x)= 无交点 . g(x)= ,由 g(x)0得 g(x)在1, + )上递增,由 g(x)1,2+032,1,A.1 B.2 C.-1 D.-2答案 B10解析 因为 3t2dt=t3 =m3,所以有 f(x)= f(e)=ln e=1,0 |0 ,1,2+3,1,f (f(e)=f(1)=2+m3=10,解得 m=2,故选 B.2.(2018安徽马鞍山第二次质量监测)若 (sin x+co
17、s x)dx= ,则 a的值不可能为( )4 22A. B. C. D.1312 74 2912 3712答案 B解析 由题意得(sin x-cos x) =(sin a-cos a)- sin -cos =sin a-cos 4 4 4a= sin a- = ,所以 sin a- = ,验证各选项,把 a= 代入,sin ,显然不成立,故24 22 4 12 74 32=12选 B.3.(2018河南商丘期末)如图,在由 x=0,y=0,x= 及 y=cos x围成的区域内任取一点,则该点2落在 x=0,y=sin x及 y=cos x围成的区域内(阴影部分)的概率为( )A.1- B.22 2-12C.3-2 D. -12 2答案 D解析 由 x=0,y=0,x= 及 y=cos x围成的区域面积 S= cos xdx=sin x =sin =1.由2 20 |20 2x=0,y=sin x及 y=cos x围成的区域面积 S= (cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)40 -1= -1.根据几何概型的概率公式可得所求的概率 P= -1,|40=22+22 2 =2-11 =2故选 D.4.(2018河北唐山二模)曲线 y=x3与直线 y=x在第一象限内所围成的封闭图形的面积为 .答案 14
