1、1,3.5 模糊模式识别,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,2,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类
2、是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,3,例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,4,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，
3、感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。,5,3.5.1 模糊模式识别的直接方法 点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,6,(2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个
4、 xi (i =1，2， n ) ?,7,2. 最大隶属(度)原则（针对第一类模型） 设 A1， A2，AnF ( X )， x0 X 是待识对象，若 Ai 满足条件Ai (x0) = max A1(x0)，A2(x0)，An(x0) (3.5.1)则认为 x0 相对隶属于 Ai。,8,3. 最大隶属(度)原则（针对第二类模型） 设 AF ( X ) 为标准模式，x1，x2，xn X 为待选对象，若 xi 满足条件A (xi ) = max A (x1)，A (x2)，A (xn) (3.5.2)则 xi 为最优录选对象。,9,例 3.5.1 设有三个三角形的模糊集：I 表示“近似等腰三角形”
5、，R 表示“近似直角三角形”，E 表示“近似正三角形”，它们是论域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其隶属函数规定如下：,10,容易验证，当A =B 或 B = C 时，I ( A, B, C ) =1；I(120, 60, 0) = 0；当 A = 90 时，R( A，B，C ) =1；R(180，0，0) = 0； 当 A = B = C 时，E(60，60，60) =1；E(180, 0, 0)=0。这说明以上隶属函数在边界情况下是合理的。（参阅 P48 边界法） 现有一三角形，其三个内角分别为 A = 70，B = 60，C =
6、 50，问这个三角形应该算作哪一类三角形？,11,计算按最大隶属度原则，这个三角形比较接近“近似正三角形”,12,例 3.5.2 癌细胞识别问题。在识别癌细胞时，把细胞分成四个标准类型，即：癌细胞( M )，重度核异质细胞( N )，轻度核异质细胞( R )，正常细胞( T )。选取表征细胞状况的七个特征为论域：X = x = ( x1，x2，x7), x1：核面积（拍照） x2：核周长 x3：细胞面积 x4：细胞周长 x5：核内总光密度 x6：核内平均光密度 x7：核内平均透光率,13,根据病理知识，反映细胞是否癌变的因素有以下六个，它们都是 X 上的模糊集。A：核增大， （ x10 为正常
7、核面积）B：核染色增深，C：核浆比例倒置，,14,D：核内染色质不均，E：核畸形，F：细胞畸形， （ x30，x40 是正常细胞周长和正常细胞面积）,15,上述 1，2，3，4，5，6 是可以调整的参数。 由 A，B，F 这六个因素模糊集，可以组合成如下细胞识别中的几个标准模型（模糊集）：M：癌 M = ( A B C (D E ) F ;N：重度核异质 N = A B C MC ;R：轻度核异质 R =A1/2 B1/2 C1/2 MC NC,16,K：正常 K = MC NC RC。上述定义中的模糊集 A1/2 表示其隶属函数为 A1/2(x) = (A(x)1/2, 另外两个模糊集 B1
8、/2、C1/2 的隶属函数有类似的意义。给定一个待识细胞 xX，可以测出其七个特征值：x1, x2, , x7，由此计算出 A(x), B(x), , F(x)，再由此计算出 M(x)、N(x)、R(x)、K(x)，最后按最大隶属度原则可以鉴别它应归属于M、N、R、K 中的哪一类。,17,例3.5.3 选择优秀考生。设考试的科目有六门x1：政治 x2：语文 x3：数学x4：理、化 x5：史、地 x6：外语考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法
9、如下：,18,式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表 3.4,19,表 3.4 考生成绩表,20,则可以计算出于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为：y2, y4, y1, y3.,21,例：考虑通货膨胀问题。设论域为 R+ = x R| x0，它表示价格指数的集合，将通货状态分成 5 个类型（
10、x 表示物价上涨 x %)：通货稳定轻度通货膨胀,22,中度通货膨胀重度通货膨胀恶性通货膨胀,23,当 x0 = 8 时，即物价上涨率为 8 %，我们有： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。此时，通货状态属于轻度通货膨胀。 当 x0 = 40 时，即物价上涨率为40 %，我们有： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。此时，通货状态属于恶性通货膨胀。,24,4. 阈值原则 有时我们要识别的问题
11、，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,25,已知 AF ( X )，x X，给定阈值 0，1，若A(x) , (3.5.3) 则认为 x 隶属于A 对应的概念或事物。阈值原则也可以用截集的概念来描述，即已知 AF ( X )， xX，给定阈值 0，1 ，若有x A , (3.5.4) 则认为 x 隶属于A 对应的概念或事物。,26,例 3.5.4 对于例 3.5
12、.1 之三角形识别问题，若给定 1= 0.85，则因 E (70, 60, 50) = 0.8891，所以 (70, 60, 50) 可认为属于“近似正三角形”。 若给定 2= 0.8, 则因 I(70, 60, 50) = 0.8332， E(70, 60,5 0) = 0.889 2，所以 (70, 60, 50) 可认为既属于“近似等腰三角形”又属于“近似正三角形”。 这就是说在模糊集的识别问题中，有时也不是唯一的，也存在着“亦此亦彼”的情况。,27,例 3.5.5 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为例 3.1.8 的情况，即对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来
13、说，若取阈值,28,1 = 0.7，则因 Y(27) = 0.862 1，而 Y(30) = 0.5 2，而 Y(30) = 0.5 = 2 ，故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。,29,例3.5.6 按气候谚语来预报地区冬季的降雪量内蒙古丰镇地区流行三条谚语：夏热冬雪大，秋霜晚冬雪大，秋分刮西北风冬雪大。现在根据三条言语来预报丰镇地区冬季降雪量。为描述“夏热” ( A1 )、”秋霜晚” ( A2 )、”秋分刮西北风” ( A3 ) 等概念，在气象现象中提取以下特征：x1：当年 6-7月平均气温，x2：当年秋季初霜日期，x3：当年秋分日的风向与正西方的夹角。,30,于是模糊
14、集 A1、A2、A3 的隶属函数可分别定义为其中 是丰镇地区若干年 6、7 月份气温的平均值，1 为方差 。实际预报时取 =19， 212=0.98,31,其中 是若干年秋季初霜日的平均值，a2 是经验参数。实际预报时取 =17 ( 即 9月17日)， a2=10（即9月10日）。取论域 X= x| x = (x1，x2，x3), “冬雪大” 可以表示为论域X上的模糊集 C，其隶属函数为,32,采用阈值原则，取阈值 =0.8，测定当年气候因子 x = (x1，x2，x3)，计算 C (x)，若C(x)0.8，则预报当年冬季“多雪”，否则预报“少雪”。用这一方法对丰镇 1959-1970 年间的
15、 12 年作了预报，除 1965 年以外均报队，历史拟合率达 11/12。,33,3.5.2 模糊距离与模糊度,在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,34,1. 模糊距离定义 3.5.1 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A,
16、 B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时，,35,特别地，p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,36,(2) 相对 Hamming 距离,37,(3) 相对 Euclid 距离,38,有时对于论域
17、中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1，x2，xn 时，有 当 X = a, b 时，有加权 Minkowski 距离定义为,39,加权 Hamming 距离定义为加权 Euclid 距离定义为,40,例 3.5.7 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,41,设权重系数为 W = ( 0.5
18、, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得由于 dw1( A, B ) ，则,48,例 3.5.8 设A=0.2/x1, 0.8/x2, 0.5/x3, 0.3/x4, 1/x5, 0/x6, 0.9/x7, 0.4/x8，则有A =0/x1, 1/x2, 0/x3, 0/x4, 1/x5, 0/x6, 1/x7, 0/x8。显然一个模糊集 A 与其最接近的普通集的距离愈远，则其模糊性愈大，所以我们就用距离 d(A, A)来定义模糊度。,49,定义 3.5.4 设 AF ( X )，与 A 最接近的普通集为 A，则 A 的模糊度 v (A)
19、，定义如下： (1) 离散情况：,50,(2) 连续情况：式中分子取 2，是因为 0 d (A, A) 0.5，取 2 以后就能保证 0 v (A，A) 1。,51,(3) 一般情况：其中常数 k 是为了保证 v(A) 在 0，1 之间。,52,命题 3.5.1 设 AF ( X )，则有证明： 这里只证结论对 v1 成立。因为，一方面有,53,另一方面又有故有所以,54,对于 v2(A), vp(A) 的情况 (3.5.23) 亦然成立。推论 证明 ： 因为 所以,55,命题 3.5.2 设 A, B F ( X )，A, BP ( X )，则对 A、B 有下列性质: (3) 已于命题 3.
20、5.1 中已证明。(1) (2)易证，证明从略。,56,例 3.5.9 由例 3.5.8，我们有于是,57,若已知 A，B F ( X )，则对于模糊度 v(A)、v(B) 我们可以按上述定义求出，我们知道 AB及 AB也是模糊集，那么这两个模糊集的模糊度是比 A 或 B 的模糊度大还是小？例 3.5.10 已知 A, B, A, BF (x1, x2, x3)，可以计算出 AB， AB及相应的各模糊集的模糊度如下:,58,59,由上可见， AB 的模糊度比 A 及 B 的模糊度小，但 AB 的模糊度又分别比 A 及 B 的模糊度大。对于 AB 的模糊度也有同样的情况。所以模糊集的交与并的模糊
21、度与原来模糊集的模糊度相比，不能肯定是大些还是小些。注：模糊集的大小与其对应的模糊度无关。,60,3. 用“熵”来定义模糊度以上是用距离来定义模糊度。这一定义的缺陷是没有考虑一个模糊集的隶属度的不均匀的程度。例如若有一个模糊集则可计算出 v1(A) = 0.2，也就是说这个模糊集 A 的模糊度很小，其实这个模糊集是无多大意义的，因为每个元素的隶属度都很小。,61,“熵” 原是一个热力学概念，统计物理学用它来表示分子不规则运动的程度，信息论中则把它作为随机变量无约束程度的一种度量。用它来表示模糊度，可以突出隶属度的不均匀性。设系统有 n 个状态，每个状态出现的概率分别为 p1, p2, , pn
22、，则系统的 “熵” 定义为,62,由此易知：H = 0 (Hmin)，当 pr=1，r 1, 2, ,n， pi=0，i r,H = lnn (Hmax)，当 p1= p2= pn= p=1/n 。若我们用下述公式表示熵则熵 H 0, 1，并且有 Hmin= 0，Hmax= 1。H = 0 的状态是系统最不均匀的状态，而 H =1 的状态则是系统达到平衡的状态。,63,例 3.5.11 设令于是有,64,将 A(xi) 视作 pi ，应用 (3.5.26) 式的熵的表示式，就有,65,定义 3.5.5 设令则模糊熵 H 的定义如下：,66,定义 3.5.6 用信息论中的 Shannon ( 香
23、农) 函数 S(x) 来定义“熵”。香农函数是S(x) = x lnx (1x) ln(1x)， x(0，1),约定,67,设 A =A(xi)/xi | i =1, 2, , n，以 A(xi) 代入香农函数中的 x，再求和，则模糊集 A 的模糊熵可以如下定义：,68,注意到熵 H 愈接近 1，则系统愈接近平衡状态，对模糊集来说，其模糊性的程度愈小；而当 H 愈接近 0 时，则系统愈不均匀，对模糊集来说，其模糊性的程度愈大。但是就其本质而言，不均匀性、不平衡性与模糊性毕竟是不同的概念，所以用“熵”来表示模糊性并非是良策。,69,定义： v ：F ( X ) 0, 1，若映射v 满足以下性质，
24、就称其为F ( X ) 上的模糊度(函数) ： (1) 清晰性： v (A) = 0 AP ( X )； (2) 模糊性： v (A) = 1 A(x) = 0.5， xX ； (3) 对称性： v (A) = v (Ac) ； (4) 单调性：若对 xX 有A(x)A(x)0.5 或 A(x)A(x)0.5， 则 v (A)v (A)； (5) 可加性： v (AB) +v (AB) = v (A) +v (B) ，对于 AF ( X )， v (A) 称为 A 的模糊度。,70,3.5.3 贴近度表示两个模糊集接近程度的度量，称为贴近度。正如 “距离” 的概念一样，贴近度也有公理化的数学定
25、义。定义 3.5.7 映射 ： F ( X ) F ( X ) 0, 1(A, B) (A, B)，称为贴近度(函数) ，如果它满足条件：,71,( 1 ): (A, A) =1， (, X) = 0；( 2 ): (A, B) = (B, A)；( 3 ): ABCF (X) (A, C) (A, B) (B, C)。称 (A, B) 为 A 与 B 的贴近度。若将 ( 1 ) 换为下面的 ( 4 )，则称 为 严格贴近度函数，( 4): (A, B) =1 A = B，且 (, X) = 0。,72,( 3): 设 A，B，CF (X)，若它们满足| A(x)C(x)| | A(x)B(x
26、)| ( x X )，则有 ( A, C ) ( A, B)。命题：( 3) ( 3 )。证明：设 A BCF (X)，则| A(x)C(x)| | A(x)B(x)| ( x X ),73,从而 ( A, C ) ( A, B)。又由 A BCF (X)，有| A(x) C(x) | | C(x)B(x)| ( x X )从而 ( A, C ) ( B, C )。 故 ( A, C ) ( A, B) ( B, C )。,74,贴近度的形式很多，下面介绍几种常见的贴近度公式。1. 用距离定义贴近度定义 3.5.8 设 d p(A, B) 是F (X) 上的 Minkowski 距离，用 d
27、p(A, B) 定义贴近度 p(A, B) 如下：其中 k, 是两个适当选择的参数，使0 p(A, B) 1,75,若取 k =1, =1，取相对闵氏距 ，便有相对 Minkowski 贴近度：,76,若分别取相对 Hamming 距离 (p =1) 和相对Euclid 距离 (p =2) 时，可得相对 Hamming 贴近度：,77,以及相对Euclid 贴近度： 容易验证，上述各式定义的贴近度 均满足定义 3.5.7 的三条公理。,78,2. 用模糊度来表示贴近度 定义 3.5.9 设 A，B F (X) ，xX，令 (AB) (x)=称 为“模糊均差”。 显然，ABF (X)，且 AB1
28、/2。,79,命题 3.5.3 令 ( A, B) = v1 ( AB)，则 v1 ( AB) 是F (X) 上的贴近度。证明： 验证 v1 ( AB) 符合定义 3.5.7 的三条公理 (1) (3)。(1): x X， A F (X) ，因为 ( AA) (x) = ，故由 (3.5.19) 式可知，v1 ( A A) = ( A, A) =1。,80,(2): 因 AB= B A，故 ( A, B) = ( B, A) 。(3): 设 | A(x)C(x)| | A(x)B(x)|，则 ( AC ) (x) ( AB) (x) 1/2 ,从而 ( A, C ) = v1 ( AC ) v
29、1 ( AB) = (A, B) 。 事实上，我们可以很容易地直接验证。 若采用 (3.5.23) 式定义，则有,81,( A, B) = v1 ( AB) = | (AB) (xi) (AB) (xi) | = |(AB) (xi) | ( 因为(AB) (xi) 1/2 )这就是 Hamming 贴近度。,82,3. 用模糊集的内积与外积来表示贴近度定义 3.5.10 设 A，B F (X)，称为 A 与 B 的内积，称 AB=为 A 与 B 的外积。按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,83,若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则与经
30、典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积 比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成逻辑加 “” 与逻辑乘 “” 运算，就得到 AB。,84,若 AF (X)，记 A 的 “高” 为 Ah ，A 的 “低” 为 Ab即 Ah= A(x) | xX , (3.5.40) Ab= A(x) | xX , (3.5.41)则 AB = ( AB )h， (3.5.42) A B= ( AB )b。 (3.5.43),85,为方便起见，我们在闭区间 0，1 中定义 “余” 运算：对于任意实数 a
31、0，1，称 ac =1a为 a 的余。,86,命题 3.5.4 内积与外积运算有以下性质：(1) ( AB)C=AC BC，( A B)= AC BC；(2) AB Ah Bh， A B AbBb；(3) AA =Ah， A A = Ab， AAC ， A AC ；(4) 0, 1，则 (A)B= ( AB)= A (B)；(5) A B 则 AC BC， A C B C 。,87,证明 仅证 (1) 的第一式，第二式类似。(2) (5)可以根据内积与外积的定义直接验证。因为故 ( AB)C 是数集 1 ( A(x) B(x) | xX 的一个下界，从而,88,以下证明 (3.5.44) 式中
32、只有等号成立。因为，如果有即于是按上确界的定义， x0 X，使得,89,即这与下确界的定义矛盾，因此 (3.5.44) 式只有等式成立，即有 AC BC.,90,例 3.5.12 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6,则 A B,91,定义 3.5.11 设 A，BF (X)，称 L( A，B) = ( AB) ( A B)C (3.5.45)或 L( A，B) =1/2 ( AB) + ( A B)C (3.5.46)为用内积、外积表示的贴近度 ( 简称内、外积贴近度)。(3.5.45) 式定义的内、外积贴近度又称为格贴近度。,92,注：这里定义的内、外积贴近度仅是一种习惯
33、称呼，它们并不满足贴近度定义 3.5.7 的所有公理。事实上定义 (3.5.45) 和定义 (3.5.46) 式都不满足贴近度定义的公理条件 ( 1 )，即 ( A，A) 1。但是，当 A F (X)，A1 ，supp A X 时，也即 Ah=1，Ab= 0时，定义 (3.5.45) 满足贴近度定义的公理条件 ( 1 ) ( 2 ) ( 3)。由于上述定义计算方便，所以在实际应用中常被选用。,93,命题 3.5.5 内、外积贴近度有以下性质： 0 L( A，B) 1， L(，X) = 0 ;(2) L( A，B) = L( B，A );(3) L( A，A) = Ah (Ab)C，特别 Ah=
34、1，Ab= 0 时, L( A, A ) =1;(4) 若 A B C，则 L( A, C) L( A, B) L( B, C)证明从略。,94,4. 贴近度的其它表示方法定义3.5.12 可以用下列各公式定义贴近度：,95,96,式 (3.5.47) 和 (3.5.48) 定义的是严格贴近度。以上各贴近度的公式，有的不满足条件 (3), 但它满足条件 (3) ： 若 A B C，则 ( A, C ) ( A, B) ( B, C ) 。 在实际应用中，要根据具体情况来选择适当的贴近度。,97,3.5.4 多因素模糊模式识别 集对集1. 择近原则已知 n 个标准模型 ( 模糊集 ) ( 模型库
35、 ) : A1，A2，An F (X)。待识别对象（不是 X 中的元素 x，而）是 X 上的模糊集 BF (X)， 为F (X) 上的贴近度，若对 Ai 有则认为 B 与 Ai 最贴近，判定 B 属于 Ai 一类。,98,例 一个公司在社会上的声誉是一个模糊概念，它是由多个因素决定的。如公司的 x1：管理水平； x2：员工才能； x3：长期投资价值；x4：财务健全； x5：善用公司资产；x6：产品/服务质量。,99,这样公司在社会上的声誉就可以看作是论域 X =x1，x2，x3，x4，x5，x6 上的一个模糊集。 现有 4 个公司的 “声誉” 模型 A1，A2，A3，A4，与其相应的管理模式为
36、 D1，D2，D3，D4，以及待识别的某公司的 “声誉” B。试用择近原则识别 B 的管理模式。,100,101,假设用某一贴近度公式计算得： ( A1, B) = 0.53； ( A2, B) = 0.52； ( A3, B) = 0.52； ( A4, B) = 0.32。根据择近原则，B 与 A1 最贴近，即 B 与 A1 采取的管理模式最靠近。,102,例3.5.13 岩石类型识别问题 岩石按抗压强度可以分成五个标准类型：很差(A1)、差(A2)、较好(A3)、好(A4)、很好(A5)。它们都是 X = 0, +) 上的模糊集，其隶属度如图 3.31 所示,103,104,今有一种岩体
37、，经实测，得出其抗压强度为 X 上的模糊集 B，隶属函数为图 3.32,105,106,试问岩体 B 应属于哪一类？ (1) 计算 B 与 Ai (i=1, 2,5) 的内、外积贴近度，得 L(A1, B) = 0， L(A2, B) = 0， L(A3, B) = 1， L(A4, B) = 0.68， L(A5, B) = 0.按择近原则，B 应属于A3 类，即 B 属于“较好”类的岩石。 (2) 若用贴近度公式 (3.5.48)，计算得 (A1, B) = 0， (A2, B) = 0， (A3, B) = 0.803， (A4, B) = 0.063， (A5, B) = 0。按择近原则，同样应判定 B 属于“较好”一类。,107,例 3.5.14 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图 3.33,108,由 (3.5.42) 式知， AB 应为 ( AB )h，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令,109,解得于是类似地，由于,110,故 A B=0。 (3.5.56)由此，按 (3.5.45) 式求得内、外积贴近度为 L(A, B) = (AB) (A B)C,
