1、1. 德布罗意关系,2. 自由粒子波函数,第一章 绪论,1.1 经典物理学的困难1.2 光的波粒二象性1.3 原子结构的玻尔理论1.4 微粒的波粒二象性,1.2,（1）德布罗意关系（德布罗意公式）,（2）判断粒子是否为非相对论粒子,光子是相对论粒子,（3）非相对论粒子 相对论粒子,习 题,习 题,钠的价电子能量,钠的价电子为非相对论粒子,则,德布罗意关系,1.2,1.3,习 题,氦原子,2质子 2中子 2电子,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释 2.2 态迭加原理 2.3 薛定谔方程2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律2.5 定态薛定谔方程2.6 一维无限深势阱2.7 线性谐振
2、子2.8* 势垒贯穿,体系所处状态的能量具有确定值，则称该状态为定态。在定态中，几率密度和几率流密度不随时间变化。,1.定态,2.束缚态和非束缚态,束缚态：粒子被束缚在空间的有限区域， 在无限远处为波函数为零的的状态束缚态所属能级是分立的,非束缚态：粒子的运动范围没有被限制， 在无限远处为波函数不为零的状态非束缚态所属能级是连续的,1. 波函数的标准条件：单值性、有限性、连续性,2. 边界条件,束缚态中，粒子局限在有限范围内运动，因此在无限远处找到粒子的几率为零，即波函数在无限远处为零.,在位势无限高处，有限能量的粒子去不了，故那里的波函数为零.,在位势作有限跳跃的地方，波函数及其导数也都分别
3、连续.,总 结,有关一维束缚态的结论,2. 对于一维束缚态，所有能级都是非简并的，波函数为实函数.,3. 对于一维束缚定态，如果U(x)为偶宇称，则每一个 都有确定的宇称.,1.束缚态中，波函数在无限远处为零.,4. 零点定理（节点定理）如果将一维问题的分立谱波函数 按其本征值递增顺序编号，则属于第n+1个能级 的本征函数 ，在其定义域内有限x值处共有n个零点，其中基态 的 无零点.,归一化常数,解：,归一化的波函数,(1).求归一化的波函数,习 题,（2）几率分布：,（3）由几率密度的极值条件,由于,故 处，粒子出现几率最大。,习 题,判别定态的方法：,（1）能量是否为确定值（2）几率密度与
4、时间无关（3）几率流密度与时间无关,下列波函数所描述的状态是否为定态？,（1）,（2）,（3）,习 题,是,不是,不是,习 题,2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令,习 题,在球坐标中,同向。 表示向外传播的球面波。,2.2,习 题,可见，,反向。 表示向内(即向原点) 传播的球面波。,习 题,2.3,习 题,解：,在各区域的具体形式为：,(1),(2),(3),方程(2)可变为,令,则,其解为,根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得,习 题,由归一化条件,得,因为,习 题,习 题,对应于 的归一化的定态波函数为,能流密度 单位时间内通过垂直于波速 方
5、向的单位截面的平均能量。,平面波和球面波的振幅,借助于上式和能量守恒讨论波传播时振幅的变化：,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变。,证明：,所以,平面波振幅相等：,球面波,所以球面波振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为,力学波动和声（平均能流密度）,一个基本概念：厄密算符（作用及其基本性质） （正交、完备）一个假定： 力学量与算符关系基本假定三个力学量值：确定值、可能值、平均值四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符动量算符角动量算符能量算符（哈密顿算符）一个关系：力学量算符间的对易关系 坐标算符、动量算符、角动量算符、角动量平方算符
6、一个定理: 共同本征态定理（包括逆定理）,第三章 量子力学中的力学量,例如：对于基态,求最可几半径,3.2,2,所以在此状态中，,氢原子能量有确定值（即该值出现几率为1）为,角动量平方有确定值（即该值出现几率为1）为,3.9 解,其平均值为,4.1,解：动量的本征函数为,在动量表象中的矩阵元为,解: 线性谐振子的哈密顿量,4.4,动量的本征函数为,4.5,解:,久期方程为,解得,设 的本征函数,的本征方程,当 时，有,进而,由归一化条件,得,当 时，有,进而,由归一化条件,得,当 时，有,进而,由归一化条件,得,的对角化矩阵表示为,5.3,5.5,则转子的哈密顿算符为,取,则,5.2,解：,根据定态非简并微扰论可知,7.1,同理,7.2 证明：,所以,所以,所以,7.3,7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？,重复组合,一般组合,
