1、高等数学教学课件,分部积分法,湄洲湾职业技术学院 傅仙发,换元积分法是一种重要的积分法，可以求许多函数的积分。但还有一些积分无法计算，如,等，像以上这样的积分都不能利用基本积分表和换元积分法计算。本节将从函数乘积的微分公式出发，导出另一种基本积分法分部积分法 。,回忆：函数乘积的微分运算法则？,设函数,，,具有连续导数。则,移项,积分,即,或,上式称为不定积分的分部积分公式。这一公式说明，若计算积分 较困难，而积分 易于计算，则可以使用分部积分法计算。应用分部积分公式求积分的方法称为分部积分法。,为方便记忆和应用，可将分部积分公式列表：,分部积分列表法的算法：左列函数依次求微分，右列函数依次求
2、积分，横向函数相乘再积分，斜向函数相乘不积分，符号选择依次取正负。,正负交错，左微右积，斜向相乘，横向积分。,例1,求,解,设,，,则,，,。,，,所以,例2,求,两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。,若取,，,，,则,，,显然， 选择不当，积分更难进行。,解,改取,，,则,，,，,应用分部积分法求积分时，一般需要将被积函数的一部分“凑微分”，并当作 ，剩余部分当作函数 ，因此分部积分法的关键在于适当地选取 和 。 和 的选取应注意： 易于由 直接求得，而 比 更易于计算。当分部积分法熟练后，可不必明确地设出 和 ，而直接应用公式。,分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。,例3,求,
3、解,例4,求,解,有时，在一些较复杂的积分问题中，有可能需要多次应用分部积分法，这时使用分部积分列表法更方便。,例5,求,解,若用分部积分列表法，可直接写出结果：,（）,（）,（）,（）,例6,求,解,有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。,例7,求,解,应用分部积分法的常见积分形式及 和 的选取方法：, ， ， ，一般可设 ，被积表达式的其余部分设为 。, ， ， ，一般可设 ，被积表达式的其余部分设为 。,上述情况 换为多项式时仍然成立，常数也视为幂函数。, ， ，既可设 ，也可设 。但一经选定，再次分部积分时，必须仍按原来的选择。,例8,求,解,先用换元积
4、分法。令 ，则 ， 。 所以,（再用分部积分法）,可见，有的积分问题需要同时用到换元积分法和分部积分法。,不定积分的方法较多，思路也比较开阔，各种解法都有自己的特点，学习中要注意不断积累经验。,应该注意：虽然初等函数在其定义区间内一定存在原函数族，但有些原函数族不是初等函数，无法用解析式表达。即初等函数在其定义区间内一定可积，但有些初等函数的积分却无法表达。,如 ， ， 等。,换元积分法、分部积分法只能解决一些简单的不定积分。在实际应用中，如果遇到较复杂的不定积分，需要借助积分表查出积分结果，或借助数学软件在计算机上求出积分结果。但初学者还应要求掌握积分方法，并能利用不同的积分方法求简单的不定积分。,回去回顾分部积分法，并做完课后作业加以巩固,
