1、数学参考答案第1页(共6页)2022年常德市高三年级模拟考试数 学 参 考 答 案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 3 5 14 0.1359 15 63 16 1 1( , 1) ( , )4 2 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17.(本小题满
2、分10分)解：()法一：2 2 cosa c b C ,由正弦定理得：2sin( ) sin 2sin sinB C C B C .2分2(sin cos sin cos ) sin 2sin sinB C C B C B C sin 0C , 1cos 2B ,又0 B , 3B .5分法二：2 2 cosa c b C ，由余弦定理得：2 2 2 2 2 2 22 2 22a b ca c b a ac a b cab ,2 2 2a c b ac .3分2 2 2 1cos 2 2a c bB ac 0 B 3B .5分()由()知，3B ，而四边形ABCD内角互补，则23ADC ，法一
3、：设DAC ,则3DCA ,由正弦定理得：题号1 2 3 4 5 6 7 8答案C D A A C A B D题号9 10 11 12答案AC AD ACD ABD数学参考答案第2页(共6页)2 32sinsin( ) sin3 3AD DC AC .7分2 3sin( ), 2 3sin3AD DC ，2 3sin( ) 2 3sin3AD DC ，=3cos 3sin 2 3sin 2 33 （ ）当且仅当3AD DC 时，AD DC的最大值为2 3.10分法二：在ADC中，23ADC ，3AC ，由余弦定理得：2 2 2 22 cos 3AC AD DC AD DC .7分22 ( )(
4、 ) 9 9 4AD DCAD DC AD DC 2 3AD DC ,当且仅当3AD DC 时，AD DC的最大值为2 3.10分18.(本小题满分12分)解：()当1n时，21 22 1a a .1分当2n时，2 12 n nS a n ，212 ( 1)n nS a n .得2 212 1n n na a a ，即2 2 21 2 1 ( 1)n n n na a a a 10, 1n n na a a .3分数列 na从第2项起是公差为1的等差数列2 2( 2)na a n n .4分又2 3 5, ,a a a成等比数列，23 2 5a a a ，即22 2 2( 1) ( 3)a a
5、 a 解得2 1a ，1 2 1( 2)na n n n 21 22 1a a ，1 0a ，适合上式数列 na的通项公式为1na n .6分() 12n nnb .7分数列 nb的前n项的和为0 1 2 2 11 2 3 12 2 2 2 2n n nn nT 数学参考答案第3页(共6页)1 2 3 11 1 2 3 12 2 2 2 2 2n n nn nT 得2 11 1 1 11 +2 2 2 2 2n n nnT .9分111 ( ) 1 22 2 21 2 2 2 21 2 n n n n nn n n 124 2n nnT .12分19.(本小题满分12分)解：()由频率分布直方
6、图可知，样本中指标值不小于60的人数为(0.025 0.005) 20 200 120 标值小于60的人数为80.1分2 2列联表如下：.3分22 200(80 40 40 40) 50 5.556 3.84180 120 80 120 9K 所以有95%的把握认为“注射疫苗后人体产生抗体与指标值不小于60有关”.5分()注射疫苗后产生抗体的概率120 3=200 5p .6分由题可知，3 (4, )5X B 44 3 2( ) ( ) ( ) ( 0,1,2,3,4)5 5k k kP X k C k X的分布列为：.10分3( ) 4 2.45E X np .12分指标值小于60指标值不小
7、于60合计有抗体40 80 120没有抗体40 40 80合计80 120 200X 0 1 2 3 4P 81625 216625 216625 96625 16625数学参考答案第4页(共6页)20.(本小题满分12分)解：()证明：因为ABC是等边三角形，O为AC的中点，AC OB .1分又平面1 1ABB A 平面ABC，平面1 1ABB A 平面ABC AB，1AB AB 1AB 面ABC.3分又AC 面ABC，1AB AC 又AC OB，1AB OB B，AC 平面1ABO .5分()解：存在线段1CC的中点P满足题意.6分证明：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O xyz，则(
8、0,0,0), (0, 3,0),C( 1,0,0)O B ，1(1,0,0), (0, 3,2 3)A A .7分设1 1 ( , 3,2 3 )CP tCC tAA t t t 则( 1 , 3,2 3 )OP OC CP t t t ，而平面1AOB的法向量为(1,0,0)n ，设平面POB的法向量为( , , )m x y z，00m OBm OP ，得0( 1 ) 3 2 3 0y t x ty tz ，不妨设1x ，则可取1(1,0, )2 3tm t .10分 | | 2 7|cos , | 7n mn m n m ，221 2 77(1 )1 12tt ，解得：12t 此时1
9、12CPCC ，所以存在点P满足题意，且1 12CPCC .12分21.(本小题满分12分)解：()设( , )G x y，则0 0( , ), ( , )NG x y y GM x x y 2NG GM ，002( )2x x xy y y ，解得00 323x xy y .2分又| | 3MN ，2 20 0 9x y .3分2 29 9 94x y ，即2 2 14x y 曲线E的方程为2 2 14x y .5分数学参考答案第5页(共6页)()由题设直线l垂线MN且与E交于G、P两点，故直线l的斜率存在且不为0设直线l：y kx t ，1 1 2 2( , ), ( , )G x y P
10、 x y联立2 2 14y kx tx y ，消y化简得2 2 2(4 1) 8 4( 1) 0k x ktx t 2 2 2 2 2 264 16(4 1)( 1) 16(4 1) 0k t k t k t 21 2 1 22 28 4( 1),4 1 4 1kt tx x x xk k .7分2 2 22 21 2 1 2 24 1 4 1| | 1 ( + ) 4 = 4 1k k tGP k x x x x k .8分由()知0 10 1323x xy y ，0 10 12MN y yk x x ，112xk y直线l过点G，1 1y kx t 点G在曲线E上，2 21 14 4x y
11、 由得，2 22 1 12 2 21 1 14 4 1 14 4x yk y y y ，即21 21 1y k 2 2 2 21 1 1 11 1 1 11 1 1 12 6 4 232 2 2x y x yt y kx y yy y y y ，即2 21 2149 12t y y 2 229 4 81t kk .10分22 2 2 22 22 29 94 1 4 ( 4 8) 1 4 11 1| | 4 1 4 1 kk k k kk kGP k k 212| | 12 12 314 1 14| | 2 4| | | | |kk k kk k 当且仅当12k 时，等号成立；此时55t 1 1
12、 9| | | 3 32 2 2PMNS MN GP 所以PMN面积的最大值为9.2 .12分数学参考答案第6页(共6页)22.(本小题满分12分)解：()由题可知函数( )f x的定义域为(0, )，a e时，ln( ) lnexf x e xx ，2ln( ) x exf x x .1分令( ) lnh x x ex ，则1( ) 0h x ex ，( )h x单调递减.2分1( ) 0h e .3分当10 x e 时，( ) 0h x ，( ) 0f x ；当1x e时，( ) 0h x ，( ) 0f x ；所以函数( )f x的单调递增区间为1(0, )e，单调递减区间为1( , )
13、e .5分()证明：2 21 ln 1 ln( ) ax e ax exf x x x x ，令( ) 1 lnx ax ex ，则1( ) 0 x ex ，( )x单调递减.6分1( ) 1 0ea a ，1( ) ln 0ae e .7分0 1 1( , )x a e 有0( ) 0 x ，即0 01 ln 0ax ex .8分0(0, )x x 时，( ) 0 x ，( ) 0f x ，( )f x单调递增；0( , )x x 时，( ) 0 x ，( ) 0f x ，( )f x单调递减；所以函数( )f x在0 x x时有极大值，则00 0 00 0ln 1( ) ( ) ln ln
14、axf x f x e x e e xx x .10分函数1( ) lnr x e xx 在1 1( , )x a e单调递减，0 1( ) ( ) lnr x r a e e aa ，要证( ) ( 1)f x a e ，即证ln ( 1)a e e a a e ，即证(1 ) ln 0e a e a .11分令( ) (1 ) lnF a e a e a ，（a e），( ) 1 2 0eF a e ea ，则( )F a单调递减，2( ) ( ) (1 ) 2 0F a F e e e e e e ，所以(1 ) ln 0e a e a 成立，即( ) ( 1)f x a e 得证.12分
