1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ,则 （ ）21,0A ， ， (1)20BxABA B C D, ,1,2【答案】A考点：集合的运算2若 为实数且 ，则 （ ）a(2)4aiiaA B C D1012【答案】B【解析】试题分析：由已知得 ，所以 ，解得 ，故选24()4ai20,4a0aB考点：复数的运算3根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )2004 年 2005 年 2006 年 2
2、007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年190020002100220023002400250026002700A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】试题分析：由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选 D考点：正、负相关4等比数列a n满足 a1=3， =21，则 ( )35a357aA21 B42 C63 D84【答案】
3、B考点：等比数列通项公式和性质5设函数 , ( )21log()1(),xxf2()log1)ffA3 B6 C9 D12【答案】C【解析】试题分析：由已知得 ，又 ，所以2()1log43f2log1，故 ，故选 C22log1log62(l)f()9ff考点：分段函数6一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A B C D81716151【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体 中，截去四面体 ，如图1ABCD1ABD所示， ，设正方体棱长为 ，则 ，故剩余几何体体积为a1326Va，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
4、 ，故选 D33156a 5考点：三视图 CBADD1 C1B1A17过三点 ， ， 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 ( )(1,3)(4,2)(1,7)C|NA2 B8 C4 D1066【答案】C【解析】由已知得 ， ，所以 ，所以321ABk2731CBk1ABCk，即 为直角三角形，其外接圆圆心为 ，半径为 ，所以外接圆方AB(,)5程为 ，令 ，得 ，所以 ，故选 C22(1)()5xy0x26y46MN考点：圆的方程8右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 分别为 14,18，则输出的 ( ),abaa ba = a - b b
5、 = b - a输出 a结 束开 始输入a， ba b是是否否A0 B2 C4 D14【答案】B【解析】试题分析：程序在执行过程中， ， 的值依次为 ， ； ； ；ab14a8b410a； ； ，此时 程序结束，输出 的值为 2，故选 B6ab2考点：程序框图9已知 A,B 是球 O 的球面上两点，AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C【解析】试题分析：如图所示，当点 C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积ABOABC最大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，R23116
6、3OBCOVRR则球 的表面积为 ，故选 CO241S考点：外接球表面积和椎体的体积BOAC10如图，长方形 的边 ， ， 是 的中点，点 沿着边 ，CD2A1COABPBC与 运动，记 将动 到 、 两点距离之和表示为 的函数 ，CDABOPxx()f则 的图像大致为（ ）()yfxD P CB OAx【答案】B【解析】考点：函数的图象和性质11已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为（ ）A B C D5232【答案】D【解析】试题分析：设双曲线方程为 ，如图所示， ，21(0,)xyabABM，过点 作 轴，
7、垂足为 ，在 中， ，012ABMNNRtNa，故点 的坐标为 ，代入双曲线方程得 ，即3Na(2,3)Ma22bc，所以 ，故选 D2c2e考点：双曲线的标准方程和简单几何性质12设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，()fx()fxR(1)0fx，则使得 成立的 的取值范围是（ ） 00xA B(,1)(,(,),)C D(,1)(,0(0,1)【答案】A【解析】试题分析：记函数 ，则 ，因为当 时，()fxg 2()xffg0x，故当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函()0xff()0()g,)数 是奇函数，故函数 是偶函数，所以 在 单调递减，且Rgxx0当 时， ，则 ；当 时
8、， ，则(1)g1()()f1()0gx，综上所述，使得 成立的 的取值范围是 ，故选 A0fx0fxx,),考点：导数的应用、函数的图象与性质第 II 卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。13设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _abab2【答案】 12【解析】试题分析：因为向量 与 平行，所以 ，则 所以ab22abk（ ） 1,k，12考点：向量共线14若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为_1
9、02,xy， zxy【答案】 32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为 ，当 取到最大时，直yxz线 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到 ，则 的最大yxz 1(,)2Dxy值为 32考点：线性规划 xy1234 12342341234DCBO15 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 _4()1ax a【答案】 3【解析】试题分析：由已知得 ，故 的展开式中 x 的4234()16xx4()1x奇数次幂项分别为 ， ， ， ， ，其系数之和为 ，解a35 +6=32a得 3a考点：二项式定理16设 是数列 的前 n 项和，且 ， ，则 _nSa1a11
10、nnSn【答案】 1【解析】试题分析：由已知得 ，两边同时除以 ，得11nnnaSS 1nS，故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则1nSn，所以 ()n1S考点：等差数列和递推关系三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （本题满分 12 分）中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的 2 倍ABCDADBCADC() 求 ；sinBC()若 ， ，求 和 的长 1AD2BDAC【答案】() ；( ) ()因为 ，所以 在 和 中，由余弦定理:ABDCS2BDABDC得，22cosA22cosCA由( )知 ，所以 222236ABCBBA1C考点：1、三角形面积公式
11、；2、正弦定理和余弦定理18 （本题满分 12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 ， 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到A用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可） ；A 地区 B 地区456789（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分满意度等级 不满意 满意 非常满意记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率【答案】 （）详见解析；（） 0.48【解析】试题分析：（）将 两地区用户对产品的满意度评分的个位数分别列与茎的两侧，并,AB根据数字的集中或分散来判断平均值和方差的大小；（）事件“A 地区用户的满意度等级
