1、2015 年北京卷(理)试题与解答一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1复数 i2A B C D1i12i12i【答案】A【解析】复数 .i2ii【考点分类】第十二章复数 考点二复数的运算【试题难度】低档题2若 ， 满足 则 的最大值为xy01xy ， ， ， 2zxyA0 B1 C D2 3【答案】D【解析】将边界点 代入目标函数1(0,),(0,)2A可得最大值为 2.2zxy【考点分类】第九章不等式 考点二简单的线性规划【试题难度】低档题3执行如图所示的程序框图，输出的结果为A B C D2， 40， 4， 08
2、，【答案】B【解析】执行的程序过程是：1,01,02,102,2,xykstxykstxyk，此时 ，跳出循环体，输出 .2,243stx (40)【考点分类】第十三章算法初步 考点一程序框图【试题难度】低档题4设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 “ ”是“ ”的mm 主x=1主y=1k=0s=x-y主t=x+yx=s主y=tk=+1k 3主(x主y)主主A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为 ， 是两个不同的平面， 是直线且 若“ ”，则平面mm可能相交也可能平行，不能推出 ，反过来若 ， ，则有 ，、/则“ ”是“ ”的必要而不
3、充分条件.m 【考点分类】第二章常用逻辑用语 考点一命题及其关系、充分条件和必要条件第十章立体几何 考点二点、直线、平面之间的位置关系【试题难度】低档题5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A B 245C D5【答案】C【解析】根据三视图还原成三棱锥，其中 平面 ABC，取 AB 棱的中点 D，连接PABPCD、PD，有 ，底面 ABC 为等腰三角形底边,DCABAB 上的高 CD 为 2，AD=BD=1，PC=1， ， =5PABCS， = ， ， = =12PABS15PBCS，三棱锥表面积 = .5S2【考点分类】第十章立体几何 考点一空间几何体【试题难度】低档题6设 是等差
4、数列，则下列结论中正确的是naA若 ，则 B若 ，则120230a130a120aC若 ，则 D若 ，则1 23主()主 11主主()主2 1【答案】C【解析】设公差为 ，则 ，虽有 ，但无法保证d2312ad120a； ，无法保证 ；若 ，120a13012a则 ，且 ，即 ； ，d213,2132123,d，即便 ，也不会有 .2123()ada3()0a【考点分类】第八章数列 考点一等差数列【试题难度】中档题7如图，函数 的图象为折线 ，则不等式fxACB的解集是2log1fxA B|0x|1xC D|1|2【答案】C【解析】在原坐标系中画出 的图象2log(1)yx（即把 的图象左移一
5、个单位， 是渐近线，2logyx如图所示） ，其中两图象相交于点 ，显然 时(,)x的图象在 的图象上方，即()fx2l(1yx的解集为 .2log()|x【考点分类】第三章基本初等函数 I 考点二指数函数、对数函数、幂函数【试题难度】中档题8汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多A BO xy-1 22CC甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米
6、/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】 “燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误；C 中甲车以 80 千米 /小时的速度行驶 1 小时，甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油， C 错误；D 中某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选 D.【考点分类】第十四章推理与证明 第三章基本初等函数考点三、 函数的应
7、用【试题难度】中档题（创新题） ，此题新而不难，侧重应用.二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ）9.在 的展开式中， 的系数为 （用数字作答）52x3x【答案】40【解析】利用通项公式， ，令 ，得出 的系数为 =40.512rrrTCx33x325C【考点分类】第十六章概率 考点三 二项式定理【试题难度】低档题10.已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210xya30xya【答案】 3【解析】双曲线的渐近线方程为 ， 是其中一条，所以 .0xay30xy3a【考点分类】第十一章解析几何 考点三双曲线【试题难度】低档题11.在极坐标系中，点 到直线 的距离为 (2,)3
8、cos3in6【答案】1【解析】点 （极坐标）化为直角坐标 ，再把直线(,)(1,)（极坐标）化为直角坐标方程 ，利用点到直线距离cos3in6360xy公式得 .|136|d【考点分类】第十七章选考系列 考点三、4-4 坐标系与参数方程【试题难度】低档题12. 在 中， ， ， ，则 ABC 4a5b6csin2AC【答案】1【解析】由题意知 .22sin2sio853610abc【考点分类】第七章解三角形 考点一正弦定理和余弦定理【试题难度】中档题13在 中，点 ， 满足 ， 若 ，则ABCMN2ACBNMxAByC； xy【答案】 1,26【解析】因为=1()32MNABACBA，即 .
9、126C1,26xy解法 2：可以特殊化后利用坐标运算来表示，建立如图所示的坐标系求解（过程略）.【考点分类】第六章平面向量考点一、平面向量的基本概念、线性运算及坐标表示【试题难度】中档题14设函数 2,1,()4)(.xaxf若 ，则 的最小值为 ；1afx若 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围是 f a【答案】 （1） 1， （2） .,)2,)【解析】当 时， 当 时， ；a11,(4)(.xxf1()fx而当 时， （当 时取得最小值） ，故填 1.1x()1fx32x （ ） ， ，若 有一个零点，则2a(),)fa()2xfa，即 ，此时 （ ）只能有一个零点，0,a04(x1必
10、须满足 ，解得 ；1,12当 即 时， 没有零点， （ ）a()xfa()4)(2fxax1也没有零点，与题意不符；当 即 时， 没有零点， （ ）202()2xf ()(f x总有两个零点 和 .xa综上可知，实数 的取值范围是 .1,),)【考点分类】第三章基本初等函数 I 考点二指数函数 考点三函数的应用【试题难度】高档题（本题易错之处是容易忽略分类讨论）三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 ）15 （本小题满分 13 分）已知函数 22sincosinxxf（）求 的最小正周期；fx（）求 在区间 上的最小值,0【解析】 （）因为 ，所以2
11、2sin(cos1)in()4fxxx的最小正周期是 ；()sin)4fx（）因为 ， ，所以 ，0x34x21sin()4x.所以 的最小值是 .221sin()()f 2【考点分类】第五章基本初等函数 II 考点一诱导公式及三角函数概念、三角变换【试题难度】中档题16 （本小题满分 13 分）A， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14， 15，16B 组：12，13，15，16，17， 14， a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A，B 两组随机各选 1 人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙() 求甲的
12、康复时间不少于 14 天的概率；() 如果 ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；25a() 当 为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）【解析】 （）甲共有 7 种选法，其中康复时间不少于 14 天的有 3 种选法，故所求概率为 .37P（）如果 ，甲乙各有 7 种选法，共 49 种选法，其中甲的康复时间比乙的康25a复时间长的选法有：（13，12） ， （14，12） ， （15，12） ， （16，12） ， （14，13） ， （15，13） ，（16，13） ， （15，14） ， （16，14） ， （16，15） ，共 10 种，故所求概率为 .1049
13、P（）A 组数据为：10,11,12,13,14,15,16 ，其平均值是 13，方差为 .285B 组数据为：a,12,13,14,15,16,17 ，a=11 时其平均值是 14，方差为 ；或12,13,14,15,16,17, a，a=18 时其平均值是 15，方差为 .285所以 a=11 或 a=18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等.【考点分类】第十六章概率 考点一古典概型【试题难度】低档题17 （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 中， 为AEFCBA等边三角形，平面 平面 ，AEFCB， ， ， ， 为 的中EFBC 42a60O点() 求证： ；AOBE() 求二面角
14、 的余弦值；F() 若 平面 ，求 的值Ca【解析】() 由于平面 平面 ， 为等边三角形， 为 的中点，EFCBA OEFOFE CBA则 ，根据面面垂直性质定理，所以 平面 EFCB，又 平面 ，AOEFAOBEFCB则 .B()取 CB 的中点 D，连接 OD，以 O 为原点，分别以 为 轴建立空,DA,xyz间直角坐标系， ， ， ， ，(0,3)Aa(2,3,0)Ba(,)E(,03)a，由于平面 与 轴垂直，则平面 的法向量可取为(2,EBa AFyF，设平面 的 法向量为 ，则由 可得 ，1)nE2(,1)nx2nAx，由 知 ，解得 ，则3x20()30aay1y，二面角 的余
15、弦值 ，又二面角2(,1)nFAEB21215cos,|nn为钝二面角，所以二面角 的余弦值为 .FAEB5（）有（）知 平面 EFCB，则 ，若 平面 ，只需AOAOBEAOCEB， ，又 ，OC(2,3,0)a (2,3,0)Ca，解得 或 ，由于 ，则 .2)(EBa4243a【考点分类】第十章立体几何 考点二点、直线、平面之间的位置关系 考点三空间向量与立体几何【试题难度】中档题18.（本 小题满分 13 分）已知函数 1()lnxf（）求曲线 在点 处的切线方程；yfx0f，（）求证：当 时， ；(,1)3()2)x（）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值k3fxk(0,1k【解析
16、】 （） 的定义域是 ， ， ，1()lnf,)2fx(0)f，曲线 在点 处的切线方程为 ；(0)fyx0f， y（）当 时， ，即不等式 对(0,1)x3()2)xf3()2)0xf成立，设 ，即 ，03()ln()Fx 3()ln1)l()2()xF则 ，当 时， ，故 在（0，1）42()1x(0,1)()03()l()x上为增函数，则 ，因此对 ，都有 成立；()F(,1)x3()2)f（） ，使 成立，等价于 .(0,1)x3()fxk31()ln()0xFk， ，则 .42221()()F(0,)x240,当 时， ，函数 在区间 上为增函数， ，0,k0x()F,1()0Fx符
17、合题意；当 时，令 解得 ，易知 ，即 .那么2()F402k20k01在区间 上的取值情况如下：(),Fx0,10(,)x0x0(,)x()x 0 F 极小值 所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 在 处取得极()x0(,)x0(,1)x(F0x小值. ，显然不符合题意.0综上可知： 的最大值为 2.k【考点分类】第四章导数及其应用 考点二、导数的应用【试题难度】高档题19 （本小题满分 14 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点C210xyab2和点 都在椭圆 上，直线 交 轴于点 01P， Amn， 0 PAxM（）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；CMmn（）设
18、 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上OBAxPBxNy是否存在点 ，使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理QMONQQ由【解析】 （）由于椭圆 ： 过点 且离心率为 ，则C210xyab1P， 2， ，所以 ，椭圆 的方程为 .21b222cabe2C21xy因为 ，其中 ，则直线 的方程为： ，令(0,),PAmn21nPAnm，得 ，即 ；y1x(,0)M（）因为 ，其中 ，则直线 的方程为：(0,),Bn21mnB，令 ，得 ，即 ；1nyxmy1x(,0)N设 ，则 ， ，因为0(,)Q0ta()OQMny0(1)tanyOQm，所以 ，即 ，所以OMNttN00()()y，故 ，即存在 ，使得 .201myn02y(0,2)QOQMN【考点分类】第十一章解析几何 考点二椭圆 考点五、解析几何综合应用【试题难度】高档题20 （本小题满分 13 分）已知数列 满足： ， ，且na*1N136a记集合 121836nnna， ， 2， ， |nM（）若 ，写出集合 的所有元素；1（）若集合 存在一个元素是 3 的倍数，证明： 的所有元素都是 3 的倍数；M（）求集合 的元素个数的最大值【解析】 （）由已知 可知： ， ， ，121836nnna， ， 16a234a，所以集合 .412a,4
