1、高三 一模 考试数学试题参考答案 第 8 页（共 16 页） 淄博市 2017-2018 学年度高三模拟考试试题 理科 数学 试题参考答案及评分说明 2018.03 一、 选择题： ABDBC ACABD CB 二、 填空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （文 ） 5 （理 ） 80 14 （文 ） 17 （ 理 ） 15 9 16 23 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （理科 12 分） 解： (
2、 )由已知 1 2 1 2ab b b且 1 13b ， 2 19b ，得 1 4a 所以 na 是首项为 4 ，公差为 3的等差数列 3 分 通项公式为 4 1 3 3 1na n n 6 分 （） 由（）知 11n n n na b nb b，得 ： 1131n n nn b b nb 1 13nnbb ， 因此 nb 是首项为 13 、 公比为13 的等比数列 9 分 则11(1 )1133 11 2313nn nS 12 分 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 9 页（共 16 页） 18 （理科 12 分） 证明：（ ）在 ABC 中， 90C ， 即 AC BC ，则 BD DE
3、 1 分 取 BF 的中点 N ，连接 CN 交 BE 于 M ， 当 13 时， F 是 AN 的中点， 而 E 是 AC 的中点 ， 所以 EF 是 ANC 的中位线， 所以 EF CN 2 分 在 BEF 中 ,N 是 BF 的中点， 所以 M 是 BE 的中点 3 分 在 Rt BCE 中， 2EC BC， 所以 CM BE ，则 EF BE 4 分 又平 面 DEB 平面 ABE ，平面 DBE 平面 ABE BE ， 所以 EF 平面 DBE 5 分 又 BD 平面 DBE ，所 以 EF BD 而 EF DE E ，所以 BD 平面 DEF 6 分 （ ）以 C 为原点， CA
4、所在的直线为 x 轴， CB 所在的 直线为 y 轴，建立如图所示空间直角坐标系 则 (0,0,0)C , (4,0,0)A , (0,2,0)B , 7 分 由（ ）知 M 是 BE 的中点 ， DM BE ,又平面 DEB 平面 ABE 所以 DM 平面 ABE ，则 (1,1, 2)D 8 分 假设存在满足题意的 ，则由 AF AB 可得 (4 4 , 2 ,0)F ， 则 ( 3 4 , 2 1, 2 )DF 9 分 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 10 页（共 16 页） 设平面 ADE 的一个法向量为 ( , , )n x y z ， 则 00n AEn AD 即 203 2
5、 0xx y z 令 2y ，可得 0, 1xz ，即 (0, 2, 1)n 10 分 所以 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值 2 2 22 ( 2 1 ) 2 2s in33 ( 3 4 ) ( 2 1 ) ( 2 )D F nD F n 11 分 解得 12 或 3 （ 舍去） 综上，存在 12 ，使得 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值为 23 12 分 19 （理科 12 分） 解：（ ）根据所给条件，制作列联表如下： 2 分 所以 2K 的观测值 222 0 0 6 4 4 4 5 6 3 6 41 2 0 8 0 1 0 0 1 0 0 3n a d b ck a b c
6、 d a c b d ， 因为 2K 的观测值 4 1.3233k ， 由所给临界值表可知 ， 在犯错误的概率不超过 0.25 的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关 4 分 男 女 总计 喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢 阅读古典文学 56 44 100 总计 120 80 200 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 11 页（共 16 页） （ ）设 惨叫交流会 的 5 人中 喜欢 古典文学的 男代表 m 人，女 代表 n 人，则mn 根据已知条件可得 1,2,3,4,5 ， 12 232 23254 11 1 , 0 20CC CP P m n CC ； 2 1 , 1 2
7、 , 0P P m n P m n 1 2 1 21 1 23 2 2 32 2 23 2 3 25 4 5 4 310C C C CC C CC C C C ； 3 1 , 2 2 , 1 3 , 0P P m n P m n P m n 1 2 2 1 0 32 1 1 23 2 3 2 2 32 2 2 23 2 3 2 3 25 4 5 4 5 4 715C C C C C CC C C CC C C C C C ； 4 2 , 2 3 , 1P P m n P m n 2 1 0 32 1 13 2 2 32 2 23 2 3 25 4 5 4 16C C C CC C CC C C
8、 C ； 03 223 23254 15 3 , 2 60CC CP P m n CC 9 分 所以 的分布列是： 所以 1 3 7 1 1 1 41 2 3 4 52 0 1 0 1 5 6 6 0 5E 12 分 20（理科 12 分） 1 2 3 4 5 p 120 310 715 16 160 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 12 页（共 16 页） 解 证 ： （ ）显然椭圆 :C 2 2 15x y的右焦点 F 的坐标为 20(), ， 设 AB 所在直线为： 20y k x k ( )( )，且 11()Ax,y ， 22()Bx,y 联立方程组： 22215()y k x
9、x y ，得： 2 2 2 25 1 2 0 2 0 5 0( ) ( ) =k x k x k ； 其中 212 22051kxx k ， 212 220 551kxx k 2 分 点 N 的坐标为 22210 25 1 5 1()kk,， ON 所在的直线方程为 ： 15yxk 3 分 FM 所在的直线方程为 ： 1 2()yxk ， 联立方程组：1 252()yxkx ，得点 M 的坐标为 5122(), k 4 分 点 M 的坐标满足直线 ON 的方程 15yxk ，故 O,M,N 三点共线 5 分 （ ）由（ ）得： 2 2 22 2 212 2 2 22 0 2 0 5 2 5 1
10、1 1 45 1 5 1 5 1k k k| A B | k | x x | k k k k ()()； 6 分 由点 M 的坐标为 5122(), k ， 22225 1 1 1202 2 2( ) ( ) k| F M | kk 7 分 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 13 页（共 16 页） 所以 2 2 2 2 22 2 22 222 5 1 2 1 4 5 145 15 1 5 1 51 5( ) ( ) ( )() ()| A B | k | k | k k k k| M F | k kk k ， 9 分 显然 22222 2 2 2 2 2 21 1 1 41 4 1 3
11、15 5 5 5 11 1 1 12 5 55 5 5 5 ( ) - ( ) + ()( ) ( ) ( )kkkkk k k k ， 故 当21 151 85k ，即 33k 时， |AB|MF| 取得最大值 5 12 分 21（理科 12 分） 解： （ ） 函数 ()fx的定义域为 , ( ) ( 1 ) ( )x x x xf x e x e k x x e k x x e k 1 分 当 0k 时，令 ( ) 0fx ， 解 得 0x 所以， ()fx的单调递减区间是 0， ，单调递增区间是 0, ) 2 分 当 01k时，令 ( ) 0fx ， 解 得 lnxk 或 0x 所以
12、()fx在 ,lnk 和 0, 上单调递增，在 ln ,0k 上单调 递减 3 分 当 1k 时， ( ) 0fx ， ()fx在 , 上单调递增 4 分 当 1k 时 ， 令 ( ) 0fx ， 解 得 0x 或 lnxk 所以 ()fx在 ,0 和 ln ,k 上单调递增，在 0,ln k 上单调递减 5 分 （ ） (0) 1f 6 分 当 01k时，由 （ ）知，当 0x ， 时， m a x( ) ( ) ( ln )f x f x f k 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 14 页（共 16 页） 22( l n 1 ) l n ( l n 1 ) 1 022kkk k k k
13、 ，此时 ()fx无零点 7 分 当 0, )x 时， 22( 2 ) 2 2 0f e k e ， 又 ()fx在 0, ) 上单调递增，所以 ()fx在 0, ) 上有唯一的零点 故函数 ()fx在定义域 , 上有唯一的零点 8 分 当 1k 时，由 （ ）知，当 ( ,ln )xk 时， m a x( ) ( ) (0 ) 1 0f x f x f ， 此时 ()fx无零点； 9 分 当 ln , )xk 时， (ln ) (0 ) 1 0f k f 2211( 1 ) ( 1 )( 1 ) 22kkk k kf k k e k e 令 21() 2tg t e t ， 12tk ，则
14、() tg t e t ， ( ) 1tg t e 因为 2t ， () 0gt ， ()gt 在 2, 上单调递增， 2( ) ( 2 ) 2 0g t g e ，所以 ()gt 在 2, 上单调递增，得 2( ) ( 2 ) 2 0g t g e ，即 ( 1) 0fk，所以 ()fx在 ln , )k 上有唯一的零点 故函数 ()fx在定义域 , 上有唯一的零点 12 分 综合 知，当 0k 时函数 ()fx在定义域 , 上有且只有一个零点 12 分 （二）选考题：共 10 分 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 如果多做，则按所做的第一题计分 22 （ 10 分） 选修 44：
15、坐标系与参数方 程 解：（ ）由 cos x ，得直线 l 极坐标方程： cos 4 1 分 曲线 C 的参数方程为 1 2 cos ,1 2 sin .xy （ 为参数），消去参数 得曲线 C 的普通方程为 2 21 ( 1) 2xy ，即 22 2 2 0x y x y ， 2 分 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 15 页（共 16 页） 将 2 2 2 , c o s , s i nx y x y 代入上式得 2 2 c o s 2 s in ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos 2 sin ； 4 分 （ ）设 12, , ,AB ，则12 42 c o s 2 s i n
16、 , c o s ， 所以 2122 c o s 2 s in c o s s in c o s c o s42OAOB 11(s in 2 c o s 2 )44 21sin 24 4 4 ， 8 分 因为 0 4 ，所以 324 4 4 ，所以 2 si n 2 124 ， 所以 1 2 1 1 2si n 22 4 4 4 4 故 OAOB的取值范围是 1 1 2,24 10 分 23 （ 10 分） 选修 45：不等式选讲 解：（ ）13,21( ) 1 3 , 223 , 2xxf x x xxx ， 原不等式等价于： 1232xx 或 1 221 3 2xx 或 232xx ， 解
17、得： 1x ，或 1 23 x ，或 2x ， 高三 一模 考试数学试题参考答案 第 16 页（共 16 页） 综上所述，不等式解集是： 1|13x x x 或 4 分 （ ） bR， a b a b f x 恒成立等价于 m a xm a xa b a b f x 因为 ( ) ( ) 2a b a b a b a b a ， 所以 a b a b 的最大值为 2a ； 6 分 12x 时， 5()2fx ； 1 22 x 时， 55 ( ) 2fx ； 2x 时， ( ) 5fx 所以max 5() 2fx ， 8 分 所以由原不等式恒成立，得： 52 2a ， 解得： 54a 或 54a 10 分
