1、函数零点的性质 - 1 - / 11 第11炼 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数 ( )fx的零点 方程 ( ) 0fx=的根 fi方程变形 方程 ( ) ( )gxhx= 的根 函
2、数 ( )gx与 ( )hx的交点 2、此类问题的处理步骤： （1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出 12,xxL，将关于 12,xxL的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果 12,xx关于xa= 轴对称，则 122xxa+=；同理，若12,xx关于( ),0a 中心对称，则也有
3、 122xxa+=。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例1：已知函数 ( ) lgfxx= ，若0 ab，且 ( ) ( )fafb= ，则 2ab+ 的取值范围是（ ） A. ( )22,+ B. )22, + C. ( )3, + D. )3, + 函数零点的性质 - 2 - / 11 思路：先做出 ( )fx的图像，通过图像可知，如果 ( ) ( )fafb= ，则01ab = ，由 ,ab范围可得：lg0,lg0ab，从而 lglgttataebt be- =-= = ，所以 122ttabee+=+ ，而 0te ，所以( )123,t t
4、e e+ 答案：C 小炼有话说：（ 1 ）此类问题如果 ( )fx图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出 ,ab，达到消元效果，但是要注意t是有范围的（通过数形结合yt= 需与 ( )yfx= 有两交点）；一个是通过图像判断出,ab的范围，从而去掉绝对值。 例 2：已知函数 () ( )2015cos,0,2log,xxfx xxp ppp - = + ，若有三个不同的实数 ,abc，使得( ) ( ) ( )fafbfc= ，则abc+的取值范围是_ 思路： ( )fx的图像可作，所以考虑作出 ( )fx的图像，不妨设abc ，
5、且() () ( )2015log0,1cfcfap=，所以 20150log12015c cppp ，从而( ) ( )2,2016abccppp+=+ 答案：( )2,2016pp 小炼有话说：本题抓住 ,ab关于 2x p= 对称是关键，从而可由对称求得abp+=，使得所求式子只需考虑c的范围即可 函数零点的性质 - 3 - / 11 例3：定义在R上的奇函数 ( )fx，当 0 x 时， () ) )12log(1),0,113,1,xxfxxx += -+ ，则关于x的函数 ( ) ( ) (01)Fxfxaa=- 时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。 ( )Fx的零点，即
6、为方程 ( ) 0fxa-=的根，即 ( )fx图像与直线ya= 的交点。观察图像可得有5个交点：12,xx关于 3x =- 对 称 ， 12 6xx+=- ， 3 0 x 且满足方程() ( ) ( )333fxafxafxa= -=- -=- 即 ( )132log1xa-+=，解得： 3 12ax =- ，45,xx关于 3x = 轴对称， 456xx+= 1234512axxxxx+=- 答案：B 例 4：已知 1 13 k，函数 ( ) 21xfxk=-的零点分别为 ( )1212,xxxx ，函数() 2121x kgx k=- +的零点分别为 ( )3434,xxxx ，则( )
7、 ( )4321xxxx-+-的最小值为（ ） A. 1 B. 2log3 C. 2log6 D. 3 思路：从 ( ) ( ),fxgx解析式中发现 12,xx可看做 21xy =-与yk= 的交点， 34,xx可看做 21xy =-与 21ky k= + 的交点，且 12340,0 xxxx，从而 1234,xxxx均可由k进行表示，所以( ) ( )4321xxxx-+-可转化为关于k的函数，再求最小值即可 函数零点的性质 - 4 - / 11 解：由图像可得： 12340,0 xxxx 31241212 21,212121xxx xkk kkkk -= -= +-= -= + ( )
8、( )1222log1,log1xkxk=-=+ 322422131log1log,log1log212 2121kkkkxx+ =-=+=+ ( ) ( )43212222311314loglogloglog311kkkxxxx kkk+ -+-= =-+-1 ,13k Q )433,1 k-+- ( ) ( ) )43212log3,xxxx-+-+ 答案：B 例5：已知函数 () ( )3 1log113xfxx =- 有两个不同的零点 12,xx，则（ ） A. 12 1xx + D. 1212xxxx + 思路：可将零点化为方程 ( )3 1log113xx -=+ 的根，进而转化为
9、 ( ) ( )3log1gxx=-与() 1 13xhx =+ 的交点，作出图像可得1212xx ，从而函数零点的性质 - 5 - / 11 ( )( ) ( )( ) ( )321211212log1101110 xxxxx xx- - -+ ，即 1212xxxx-+=)(,3)0(|,ln|)(333exxeexxxf ，存在321 xxx ， )()()( 321 xfxfxf = ，则23 )(xxf 的最大值为 思路：先作出 ( )fx的图像，观察可得： 312301xxex，所求23 )(xxf 可先减少变量个数，利用 ( ) ( )32fxfx= 可得：( )232222()
10、lnfxfxxxxx=，从而只需求出ln xyx= 在( )31, e 的最小值即可： 21ln xy x-= ，所以函数 ln xy x=在( )1, e 单增，在( )3,ee 单减。从而 max ln1ey ee= 答案：1e 例7：已知定义在R上的函数 ( )fx满足： () ) )222,0,12,1,0 xxfxxx += - ，且 ( ) ( )2fxfx+= ，() 252xgx x+= + ，则方程 ( ) ( )fxgx= 在区间 5,1- 上的所有实根之和为（ ） A. 5- B. 6- C. 7- D. 8- 思路：先做图观察实根的特点，在 )1,1- 中，通过作图可发
11、现 ( )fx在 ( )1,1- 关于( )0,2 中心对称，由( ) ( )2fxfx+= 可得 ( )fx是周期为 2 的周期函数，则在下一个周期( )3,1-中， ( )fx关于( )2,2- 中心对称，以此类推。从而做出 ( )fx的图像（此处要注意区间端点值 在何处取到），再看 ( )gx 图像，() 251222xgx xx+=+，可视为将 1y x= 的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单函数零点的性质 - 6 - / 11 位，所以对称中心移至( )2,2- ，刚好与 ( )fx对称中心重合，如图所示：可得共有 3 个交点123xxx，直线ym= 与函数 ( )fx的图像相交
12、于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为 ,abcd，有以下四个结论 )3,4m )40,abcde 562112,2abcdeeee +-+- 若关于x的方程 ( )fxxm+=恰有三个不同实根，则m的取值唯一 则其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 思路：本题涉及到m的取值，及4个交点的性质，所以先作出 ( )fx的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m的范围是 )3,4 ，所以正确。从图像上可看出 ,ab在同一曲线， ,cd 在同一曲线上，所以在处理时将 ,ab放在一组， ,cd放在一组。 涉及到根的乘积，一方面 ,ab为方程 2 23xxm-+=的两根，所以由韦达定理，可
13、得3abm=-，而 ,cd为方程 2ln xm-=的两根，且 20 ced，从而2lnln2cd-=-，即 4ln4cdcde= =，所以有 ( ) )4430,abcdmee=-，正确 由中的过程可得： 2ab+=- ，2lnln2cdm-=-=，所以 22,mmcede-+=，从而222122mmmmabcdeeee e-+ +=-+=-+，而 )3,4m ， )34,meee 设( ) 2 12 m mfmee e =-+，则 ( )fm为增函数，所以 ( ) 562112,2fmeeee +-+- 正确 函数零点的性质 - 7 - / 11 可将问题转化为 ( )yfx= 与yxm=-
14、+ 的交点个数问题，通过作图可得m的值不唯一 综上所述：正确 答案：A 例 9：已知函数 () ( )( ) ( )log1,11 0,121,13axxfxaafxax+- -+- ，若12xx ，且( ) ( )12fxfx= ，则 12xx+ 的值（ ） A. 恒小于2 B. 恒大于2 C. 恒等于2 D. 与a相关 思路：观察到当 11x-时， ( )fx为单调函数，且13x时， ( )fx的图像相当于作( )1,1x - 时关于 1x = 对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得( ) ( )12fxfx= 时， 12,xx必在两段上。设 12xx ，可得 12113xx
15、-，考虑使用代换法设 ( ) ( )12fxfxt=，从而将 12,xx均用 ,at表示，再判断 12xx+ 与2的大小即可。 解：设 ( ) ( )12fxfxt=，不妨设 12113xx-，则 2121x- ( )11log ta xtxa+= =- ( ) 122log313taa xatxa+-+-= =- 1122ttaxxaa+-+=+- 若01a，则 xya= 为减函数，且 11 ttattaaa+- 122xx+ 若 1a ，则 xya= 为增函数，且 11 ttattaaa+-+- 122xx+ 12xx+的值恒大于2 答案：B 例10：定义函数348,12,2()1 (),
16、2.22xxfx xfx - = ，则函数 ()()6gxxfx=-在区间1,2n （ *Nn ）内的所有零点的和为（ ） An B2n C 3(21)4 n - D3(21)2 n - 函数零点的性质 - 8 - / 11 思路：从 1() 22xfxf = 可得：函数 ( )fx是以( )12,2nn- 区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，同时竖直方向上缩为原来的12，从而先作出 1,2x 时的图像，再依以上规律作出 12,4,4,8,2,2nn-L 的图像， ( )gx的零点无法直接求出，所以将 ( ) 0gx= 转化为 () 6fx x= ，即( )yfx=
17、与 () 6hx x= 的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可归纳出( )12,2nn- 中极大值点为1223224nnnnx- += ，所以所有零点之和为( ) ( )22133214212nnS -= =- 答案：D 小炼有话说：（ 1 ）本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于 ()2xf 的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。 （2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现 () 6hx x= 恰好与 ( )fx相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当 32x = 时， () ()334,32322fhfh = =
18、 ，从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选 1、（ 2016 四川高三第一次联考）已知函数 ()111,0,2212,22xxxfxx- + = ，若存在 12,xx，当1202xx时， ( ) ( )12fxfx= ，则 ( ) ( )122xfxfx- 的取值范围为（ ） A. 2320, 4- B. 9232,164 - C. 91,162 - D. 2321,42 - - 2、（ 2016，苏州高三调研）已知函数 ( ) ( )sin0,fxxkxxkR=-有且只有三个零点，设函数零点的性
19、质 - 9 - / 11 此三个零点中的最大值为 0 x ，则( )02001sin2xxx=+ _ 3、已知函数 ( ) ( ) ( )2,ln,1xfxxgxxxhxxx=+=+=-的零点分别为 123,xxx，则123,xxx的大小关系是_ 4、已知函数 () 31 log3xfxx =- 的零点为 0 x ，有0 abc使得 ( ) ( ) ( ) 0fafbfc，则下列结论不可能成立的是（ ） A. 0 xa C. 0 xc D. 0 xc ，若方程 ( )fxa= 有四个不同的解 1234xxxx，则( )123411xxxx+的取值范围是（ ） A. 10, 2 B. 10, 2
20、 C. 10, 2 D. )0,1 6、已知函数 ()2log,02sin,2104xxfx xxp = ，若存在实数 1234,xxxx，满足 1234xxxx，且 ( ) ( ) ( ) ( )1234fxfxfxfx=，则( )( )341222xxxx-的取值范围是（ ） A. ( )4,16 B. ( )0,12 C. ( )9,21 D. ( )15,25 习题答案： 1、答案：C 函数零点的性质 - 10 - / 11 解析：如图可知： 122111,122xx- ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1221211111112xfxfxxfxxfxxx -=-=
21、-=-+ 22111111922416xxx =-=- ()9111622gxg -=- 2、答案：12 解析： ( ) sin0sinfxxkxxkx=-= =，即 sinyx= 与ykx= 恰有三个公共点，通过数形结合可得：横坐标最大值 0 x 为直线与曲线在 3, 2pp 相切的切点。设改点 ( )00,Axy，sinyx= 的导数为 cosyx= ，所以000000 00sin sincos cosyx xxykxx= = = ，代入到所求表达式可得：( )0002200 000sincos121sin2 sin1sin2cosxxxxx xxx=+ + 3、答案： 123xxx 解析
22、： ( ) ( )02,0lnxfxxgxxx= =-= =- ，在同一坐标系下作出 2,ln,xyyxyx=- 如图所示可得1201xx，从而123xxx 4、答案：C 函数零点的性质 - 11 - / 11 解析：可判断出 ( )fx为减函数，则 ( ) ( ) ( ) 0fafbfc。所以 ( )fx的零点必在( )1, a中，即 0 xa 时，由 ( ) 0fc和 ( )fx为减函数即可得到 ( )fx不再存在零点。 5、答案：B 解析：作出 ( )fx的图像可知若 ( )fxa= 有四个不同的解，则 ( 0,1a ，且在这四个根中，12,xx关于直线 1x =- 对称，所以 12 2
23、xx+=- ， 341xx ，所以 2324loglogaxx=-=，即34122aaxx = = ，所以 () ( )1234111222aagaxxxx =+=-+ ，由 ( 0,1a 可得 ( )ga的范围是 10, 2 6、答案：B 解析：不妨设 ( ) ( ) ( ) ( )1234fxfxfxfxa=，作出 ( )fx的图像可知若ya= 与( )yfx= 有四个不同交点，则 ( )0,1a ，且 12341,xxxx 关于 6x = 轴对称。所以有21221234loglog112xxxxxx-= = += 即( )( ) ( )343434 341212222420 xxx xx xxx xx- +=- 因为 34341212xxxx+= =-，所以( )( ) ( ) ( )34 44412221220,8,10 xx xxxxx-=-，求出该表达式的范围即为( )0,12
