1、选自：张思明，白永潇：数学课题学习的实践与探索M ，高等教育出版社，2003. 第四节 教育储蓄问题这是一个初高中都能做的数学应用小课题，需要学生自己调查所需的数据和信息，自己提出问题，在教师指导下，利用已知信息解决相应问题。一、课题的实施环节设计课题目标：初步了解用数学知识解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。由于教育储蓄问题的特殊性，可以用这个问题来学习或复习等差数列的通项、求和等知识.课题涉及的数学内容：等差
2、、(等比) 数列的通项公式与求和公式。整存整取，零存整取储蓄的相关计算。课题实施的主要步骤：1 调查有关“教育储蓄”的资料，主要途径：网上主题词检索、各大银行直接询问。2 重点确认以下信息：教育储蓄的适用对象：（在校中小学学生）储蓄类型：（“零存整取”但享受“整存整取”的利率）最低起存金额：（人民币 50 元）每户存款本金的最高限额（人民币 2 万元）支取方式：（到期 3 年或六年，凭学校开出的在学证明一次支取本息）银行现行的各类、各档存款利率：（略）零存整取、整存整取的本息计算方法。3根据问题，在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立相应的数学模型，拟解决的问题有：(1)依教育储蓄的方式，每月
3、存 50 元，连续存 3 年，到期（ 3 年）或 6 年时一次可支取本息共多少钱？(注：下面的解算中用到了 “表 1-我国主要银行储蓄利率表 ”的结果，如果利率发生变化，结果将相应发生变化，后面各题不在另加说明。)表 3-6 1999 年 6 月 10 日起执行的银行存款年利率 (单位：%)项目 年利率 % 项目 年利率 %活期存款 0.99 零存整取 整存零取 存本取息整存整取 一 年 1.98三个月 1.98 三 年 2.16半 年 2.16 五 年 2.25一 年 2.25 定活两便 按一年以内整存整两 年 2.43三 年 2.70五 年 2.88取同档次利率打六折执行等差数列求和：s
4、3=5036+(1+2+3+.+36)2.7%/12= 1874.93 元；s6=5072+(1+2+3+.+72)2.88%/12= 3915.36 元。(2)依教育储蓄的方式，每月存 a 元，连续存 3 年，到期（ 3 年）或 6 年时一次可支取本息共多少钱？S3 = a 36+ 6660.00225; s5= a 72+ 26280.0024(3)依教育储蓄的方式，每月存 50 元，连续存 3 年，到期（ 3 年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少钱？S= 50 36+ 6662.70%/1250(36+666 )=50666(2.70%-1.728%)/12 )12/8.
5、0%6.2=26.97(元)(4)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 1 万元，每月应存入多少钱？a = 10000/(36+6662.70%/12) = 266.67733=266.68(5)欲在 3 年后一次支取教育储蓄本息合计 a 万元，每月应存入多少钱？b = a 10000 / (36+6662.70%/12) 元(6)依教育储蓄的方式，原打算每月存 100 元，连续存 6 年，可是到 4 年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？S4 = 100 48+ 11760.00225 = 5064.60 元.(7)依教育储蓄的方式，原打算每月存 a 元，连续存 6 年，
6、可是到 b 年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少钱？这是一个分段函数: 当 b3 时 s = a 12b+ (1+12b)6b0.002250=9，所以 n-3=6。只要先作出 n-3 棱锥，然后砍掉底面上任意一上顶点所在的 “角 ”，即可增加 3 条棱，形成 n 条棱的多面体。从一个班交上来课题研究报告的结果看，不同程度的学生均能发现一些规律，虽然不一定是教师期待的结果。上面介绍的 3 个报告代表了 3 种典型结果，第一位学生能顺利地找到规律，不能证明发现的欧拉公式，但顺便还能发现一些朴实易证的结果。第二位学生观察的目标变了，发现并证明了正多面体只有 5 种，正多面体的对偶关
7、系，多面体中顶点数、棱数、面数之间的 4 个关系关系，唯独没发现的欧拉公式。应该说他还是很有独立观察能力和自我见解的。第三位学生表现了一定的创造性，不但观察并自我规定了球的顶点数、棱数、面数都是“”，还发现了欧拉公式的局限性，构造了使欧拉公式不成立的凹多面体的反例。这个素材是高一年级的学生做的，对于刚上高中的学生来说，让学生自己证明欧拉公式是困难的，可以通过后继的主题阅读来解决。三可拓展的部分素材与活动上面提到的内容是一个结合教材的课题学习设计。一般地看，学生发现结论不困难，证明结论比较困难。因此在后继的主题活动中可以设计这样一些内容：1主题阅读：网上检索或由教师提供有关如欧拉公式的证明、闭曲
8、面的拓扑分类的阅读材料。 下面是学生们借助于北大天网搜索引擎提供的网上检索的部分信息：欧拉公式相关 资 料的网上 检 索的部分 结 果：查 找： 欧拉公式的 证 明 费时 74.503 毫秒 ,共找到 86 篇文档 ,(1) 用拓朴学方法 证 明 欧拉公式 http:/ GB 1230 字 节 2002/5/9 历 史网 页 摘要： . 用拓朴学方法 证 明欧拉公式 .日照一中学生 频 道 . . 上更多 页 面 (2) 云嫣小屋 - 数海 http:/ GB 7064 字 节 2002/10/3 历 史网 页 摘要： .数学思 维 .欧拉回路与中国 邮递员问题 .| 用欧拉公式 证 明：正
9、多面体 .| 用拓扑学方法 证 明欧拉公式 .| 最小二乘法 .| 不等式模型 .|.| 用欧拉公式 证 明：正多面体 .| 用拓扑学方法 证 明欧拉公式 .| 最小二乘法 .| 不等式模型 .| 线 性 规 划模型 . . 上更多 页面 (3) 三思藏 书 架：保 罗 霍夫曼 阿基米德的 报 复 第三章素数的 滥 用 http:/www.oursci.org/lib/Archimedes_Revenge/04.htm GB 9407 字 节 2002/5/6 历 史网 页 摘要： . 大 约 在 2300 年前，欧几里得就 证 明存在无限多的素数 .的确，当 n 为 0至 39 中 连续
10、的整数 值时 ，欧拉公式得出的全是素数。但如 n 40 时 ，这 一公式突然不灵了。其得数 1，681 是 41 的平方。 . 欧拉公式 .1963 年 .果然， 许 多数都神奇地出 现 在 对 角 线 上。 . 欧拉公式 n.2. n 41 在 n 为 大数 值时证 明有令人震惊之效。 马 尼艾克二型 计 算出， . . (4) 中国教育曙光网 http:/www.chinaschool.org/kcgg/biaozhun/gsdec.htm GB 2789 字 节 2002/8/5 历 史网页 摘要： .9.9 研究性 课题 ：多面体欧拉公式的 发现约 3 课时 .阅读 材料：欧拉公式和正
11、多面体的种 类 .9.10 球 约 4 课时 . （2）研究性 课题 （线 性 规 划的 实际应 用， 多面体欧拉公式的发现 ）；. （3）空 间 向量（ 9b）；.（1）平均 值 不等式； . （2）不等式的解法和 证 明 ?. . (5) 全日制普通高 级 中学教科 书 （试验 本） 数学 第二册 (下 a)(下 b) 简 介 http:/ GB 7024 字 节 2001/12/9 历 史网 页 摘要： .要求学生了解正多面体的概念，理解多面体的欧拉公式。本册教科 书 在正文中 仅给 出欧拉公式及其某些 应 用 .“欧拉公式和正多面体的种 类 ”中 给 出欧拉公式的一种 证 明方法。 上
12、更多 页 面 (6) http:/ GB 10549 字 节 2002/12/7 历 史网 页 摘要： .级 数 论 的欧拉常数， 变 分学的欧拉方程，复 变 函数的欧拉公式等等 .欧拉首先引 进了重要的欧拉函数 .(n).，用多种方法 证 明了 费马 小定理 .他 21 岁 大学 毕业 ，22 岁获 博士学位。他在博士 论 文中 证 明了代数基本定理，即一元 .n.并系 统 而深入地 阐 述了同余式的理 论 ；他 证 明了数 论 中的重要 结 果二次互反律等。高斯去世后 . . (7) http:/61.139.76.222/jxc/jsjsh/计 算机数学 /doc/特殊 图辅导 (6).
13、htm GB 33159 字 节 2001/11/23 历 史网 页 摘要： .(所有面的次数之和 边 数的 .2 倍 . )(定理 .6). (2). 欧拉公式：平面 图 .面数 为 .r.，则 .但若外加任意一条 边 于 .g.后，就形成一回路 . 试证 明 .g.必 为树 . 证 明 .由树 的定 义 可知，只需 证 .g.连 通即可 .-2. (d.) m.+n.+2. 答案 .：(a.) 解答 .：见 定理 .7.，欧拉公式 . 3. .设 .g.是由 .5.个 结 点 组 成的完全 图 . .设 .g.是平面 图 ，并且 .g.的所有面的次数均 为 .3.，证 明 . . (8)
14、趣味数学 http:/ GB 2078 字 节 2002/5/25 历 史网 页 摘要： .趣味数学 .用拓朴学方法 证 明欧拉公式 .尝 欧拉公式： 对 于任意多面体（即各面都是平面多 边 形并 .那末 .f-e+v=2。试 一下用拓朴学方法 证 明关于多面体的面、棱、 顶 点数的欧拉公式。 . 证 明如 图 (9) 波利 亚 教我 们 解 题 http:/ GB 4855 字 节 2002/5/23 历 史网 页 摘要：.还专门详细 介 绍 了数学大 师 欧拉 发现 凸多面体的欧拉公式（ 顶 点数 棱数 +面数 =2）的全过 程 .波利 亚 要求我 们 不 仅 要学 习证 明，而且要学 习
15、 猜想 . . 2数学活动与实验：构造并制作出不满足的多面体，（学生作出的最好结果是找到了使得 v+f-e=n 的多面体的递推的构造方法，这里 n 是一个事先给定的自然数）3。学生讲演和交流：选题可以有：（1）我发现正多面体中的“对偶关系”；（2）我发现的多面体中顶点数、棱数、面数间不等关系；（3）我构造的使欧拉公式不成立的多面体。（上面实验报告（2）、（3）均反映了这样的发现）4.教师或学生的主题报告：欧拉公式的证明，拓扑不变量和拓扑分类的意义。 （高中新课程标准的选修部分已涉及了这部分内容。 ）第七节 商场中的节约问题一、课题设计这也是一个场景素材，教师不必给出具体问题，只要带领学生走进商
16、场（最好是超市）这个环境，让学生自己观察和寻找有关的数学问题。学生们自己可以发现的数学问题源有：1超市中商品摆放与计数，这个问题实际上可以让学生通过观察锥垛、台垛、三角剁等商品码放形式来进行商品计数，了解各种数列（主要是各阶等差数列的求和）的求和应用。2同种商品大小包装与定价问题。同一种商品如同一品牌的牙膏，有 60 克、90 克、140 克一支的包装，它们的销售价格应如何确定？是按比例吗？3给定容积的罐头，怎样设计它的外型尺寸，才能节省包装材料？真正的商品符合数学的计算结果和规律吗？怎样解释这种差异？4超市的出口应该开放或设置几个才合理？首先要对“合理”进行界定，是让顾客平均等待的时间尽可能
17、短？还是让营业员的工作的效率尽可能的高？还是别的标准？5超市的监视控制系统应该怎样设计才能合理有效？6货架的合理摆放，货类的合理分布，导购路线的合理设计，. 这些问题都需要让学生先思考“合理”的含义和标准。【说明】这个课题的优点是，比 较容易找到与课堂常规教学的 结合点， 让各种学生尽快感受到所学知识的有用和可用。如 结合高一的函数知识和比例模型 讨论同种商品大小包装与定价问题，结合数列求和解决商品 摆放与计数问题， 结合立体几何的面 积和体积计算和平均不等式的知识解决节省包装材料的问题等等。后面的 过 程相对简单，可以 让学生分组或个人再确定所选择的问题后，进 入资料收集、分析、建模、求解、
18、结合常规教学的课堂讨论，撰写小论文、组织交流答辩的环节 。二、部分成果示例1 商品定价的讨论课（摘要）原始问题：我们会发现在商店里买同一种商品，大包装的比小包装的合算，如某种牌号的牙膏 60 克一支 130 元，90 克一支 180 元，假设牙膏的价格是由牙膏的生产成本和包装成本所决定(此处忽略运输成本 )，而生产成本正比于商品的重量，包装成本正比于商品包装的表面积请你给出一支 140 克的这种牙膏的合理价格并给出该商品的单位重量的价格 C 与重量 M 的关系：说明当 Mi 曾加时 C 会减少再仿此题的解法给出下列各种商品“?”处待定的合理价格。开心果：18 克17 元； 80 克75 元；
19、168 克 ? 元蛋糕： 400 克15 元； 750 克28 元； 1000 克 ?元 麦氏咖啡：50 克22 元；100 克40 元： 200 克 ?元洗头液：75 毫升12 元；125 毫升175 元；200 毫升 ?元课堂讨论记要：（1）有的同学认为商品的价格与商品的重量近似地看是一次函数的关系，由此给出了如下的线性计算模型： 设 140 克牙膏的合理价格为 x 元，于是有：30.18690.4x解得：x = 263(元) -（2）多数同学认为上述算法虽简单，但与原题所述买同一种商品，大包装比小包装的合算”不符经过对三种规格的牙膏的内、外包装的实际测量、观察发现，外包装的三度对应近似成
20、比例，比值约为 031；内筒的宽高也对应近似成比例，比值约为09，由此知它们“非常相似” 由此三个组的同学都给出了如下解法：因为商品的价格在题设条件下由商品的生产成本和商品的包装成本两部分决定而生产成本商品的重量 M：包装成本商品的表面积 S；在同种但规格不同的商品的外包装是相似(或近似相似)的假设下，商品的体积 VM；S V 2/3 M 2/3 可设：合理价格 Y=aM+bM2/3；其中 a,b 是待定系数由同种商品的两种规格的已知价格可定出 a，b如对所讨论的这种牙膏：80.190362解得：a=0.0847；b=0.516 。所求商品价格与重量的函数关系： y=0.0847M+0.516
21、M 2/3取 M=140 时得：y = 2.58(元)，这是我们所要的结果，也就是 140 克的同种牙膏买 2.58 元比较合理。 而单位重量的商品价格： ，这是关于 M 的减函数，可见 M31baMyc增加时 C 减少。 （3）仿（2）的计算同学们给出了以下商品的待定合理价格如下：开心果： 168 克1571 元；蛋糕： 1000 克3727 元；麦氏咖啡：200 克7365 元； 洗头液： 200 毫升2487 元。至此原始问题已得到解决教师表扬了同学们积极思考、大胆动手实践的精神，并提出以下的一些开放性问题供同学们进一步思考和实践：如果大小商品包装不相似怎么办? 如大小午餐肉罐头，它们的底面积一样，只是高不同，它的价格公式是怎样的?商品的价格除了前面考虑的因素外，还需考虑什么? 2抽取式面巾纸的包装盒优化设计（学生小论文）
