1、篮球运动中打板球的物理学模型及其数值计算作者：傅杰运 陈仕麟 陈伯韬覃荣敏 何天鹰指导老师：谢小华篮球运动中打板球的物理学模型及其数值计算海南中学 傅杰运【摘要】在玩篮球的过程中，我们发现某些情况下打板球比直接投篮更加容易进球。我们对此进行了探究。该问题是三维空间内的物理问题，本文创造性地在篮板后面放上一个虚拟的篮筐，建立一个有效投篮面积的概念，将实际问题转换为一个二维平面内的物理模型，并建立了一个精确的数学方程组。在解方程的过程中，为了精确求解，用计算机编程进行了数值计算，为篮球运动中打板球的现象作出了正确的科学解释。一、打板球的物理模型在篮球比赛中，常常可以看到这样的场景：进攻队员冲到篮下
2、，面对近在咫尺的篮筐，他往往不是直接把皮球扔向篮筐。相反，他会把球投向篮板。而皮球总会很听话地弹进篮筐。为什么在近距离小角度投篮的时候，打板球比直接投篮更容易进球呢？我们试图从物理学的角度研究这个问题。首先建立一个有效投篮面积的概念。如果我们在一个点上把篮球中心投在某一个面积内，都有可能进球，那么称这个面积为有效投篮面积。显然有效投篮面积越大，越容易进球。而直接投篮的有效投篮面积为多少？篮球的直径是 25 公分，而篮筐的直径是 45 公分，那么，直接投篮的有效投篮面积就是一个直径 20 公分的圆面积。现在我们研究打板的有效投篮面积。我们做篮球反弹过程中没有能量损失的理想化假设，此时可以认为打板
3、球反射角等于入射角。显然，我们的研究是在三维空间内的问题，同时还要计算反弹以后的运动状态，计算将非常繁杂。经过思考，建立这样的物理模型：不妨在篮板后面放上一个虚拟的篮筐（如图 1 所示） ，这样就相当于直接投后面的那个虚拟的篮筐。因为入射角等于反射角，且可以忽略能量损失，这样的的转换与原来的问题是等价的。这样物理模型的转换有利于问题的简易求解显而易见，因为不需要再考虑球反弹之后在三维空间内的复杂运动状态，而只需要考虑直接投后面的篮筐这样的二维运动状态，同时计算有效投篮面积也可以大大简化。称投篮路线和篮板之间的夹角为投篮角度，那么不妨先计算最特殊的 90 度角打板投篮的有效投篮面积。由于采用了上
4、述模型，在计算 90 度角的有效投篮面积的时候，我们只需要在垂直于篮板的二维平面上进行计算（如图 2 所示） 。假设某一次成功打板进球时打板的位置是 ，那么我们只需要计算出),(yx和 ，也就是打板的有效投篮面积高度的上下界。因maxyin为打在高度为 ，宽度为篮筐直径内的长方形内都minaxy图 2图 1),(yx有可能进球，所以投篮角度为 90 度时打板时的有效投篮面积为( )乘以篮筐直径minaxyd。显然解决问题问题关键在求出 y 的范围。如果投篮角度不是 90 度而是任意角 ，那么此时的有效投篮面积就等于 90 度角的有效投篮面积除以 Sin ，而这个面积显然大于 90 度时的投篮面
5、积。 （如图 3 所示）：二、打板球的运动方程用 分别表示篮球出手的时候在水平方向上的速度和竖直方向上的速度，假设我们以21,v出手投篮的点作为坐标原点，距离篮板的距离为 x，又假设我们是在 2 米高处出手，且篮筐高 3.05 米，显然这个时候篮板的坐标是 。篮筐的直径（篮筐指的是经过上面的等效)05.1,(转换后的，下同）为 0.2 米，又以为篮筐于篮板之间有一个宽约 5 厘米的支架，可以得到我们设置的虚拟篮筐的中心坐标是 。假设在高度为 处打到篮板，那么打板的位).,(xy置是 。设 t 为投篮出手到打板时花费的时间，再假设 为篮球投出后下降到虚拟篮筐高),(yx 2t度时花费的时间。因为
6、一般情况下人投篮的速度是有限的，假设人出手时的投篮速度范围是0 到 。加上这条限制。那么需求的量之间的关系由以下方程组给出：v2211221 1.05.05vxtxgttyvxt方程组中式表示篮球作斜抛运动直至打到篮板时水平方向上运动情况，经过 t 时间后到达篮板；式表示篮球作斜抛运动直至打到篮板时竖直方向上的运动情况，经过 t 时间后高度达到 y；式表示篮球作斜抛运动直至达到虚拟篮筐时竖直方向上的运动情况，经过时间后达到篮筐高度；式表示篮球作斜抛运动时达到虚拟篮筐时水平方向上的运动状况，2t即经过 时间后篮球能够落在精确的篮筐范围内的限制条件；式表示速度限制。数值计算t过程中我们取 v 最大
7、为 12m/s。这是一个不定方程，有三个运动方程，两个精确的约束条件，却有 5 个未知数。我们的目标是求出精确的 y 的取值范围。但是面对那么烦杂的运算，采用纯数学处理很难进行精确求解。显然，使用计算机进行数值求解应是最好的方法。三、打板球运动方程的计算机数值求解为了解出这个方程，必须进行某些量的部分穷举，而使用计算机对某些量的部分穷举具有高效性。具体实现中穷举 y 和 t。把 y 从 1.05 开始，每次递增一个很小很小的量，比如说 0.01 或者 0.001。对于每个 y，在一个范围内穷举 t。从而解出其他的量，再代入下面两个约束条件进行检验。这样就可以求出 y 的范围。我们经过计算机 P
8、ASCAL 语言实现，求出了在 x=5 的时候 y 的范围。再乘以篮筐的直径，得到了有效投篮面积。这个面积在 90 度投篮的时候大约为 0.19 平方米。而篮筐的面积只有大约 0.05 平方米。显然这个对比是很鲜明的。而这只是 90 度的情形，至于不同的投篮角度也可以得出。列表比较如下（计算机程序以及运行情况见附录）：表一：距离篮筐 5 米时直接投篮与打板的有效投篮面积比较单位： 2m角度 90 60 45 30直接投篮 0.05 0.05 0.05 0.05打板 0.26 0.30 0.37 0.52表二：距离篮筐 8 米时直接投篮与打板的有效面积比较单位： 2m角度 90 60 45 30
9、直接投篮 0.05 0.05 0.05 0.05打板 0.19 0.22 0.27 0.38由表一，表二结果显示，距离 5 米并以 90 度投篮时，打板的有效投篮面积是直接投篮的 5 倍。随着角度的不断减小，打板有效投篮面积不断增大。距离篮筐 5 米，到 30 度的时候已经增大到了直接投篮的 10 倍。如果距离篮筐 8 米，到 30 度的时候已经扩大到了直接投篮的 8 倍。可见打板投篮的优越性。这也不难解释为什么投篮角度越小，人们越喜欢打板。但是随着投篮距离的增大，打板的优势越来越小。这就不难解释为什么运动员在小角度，近距离的时候喜欢打板，而在大角度，远距离的时候喜欢直接投篮。一般地，运动员投
10、篮距离不会超过 8 米。因为三分区的半径只有 7 米左右。但是，有效投篮面积只是问题的一个方面，而且我们在研究中发现，打板有效面积提高的瓶颈是出手时篮球的速度。如果出手时篮球的速度能够再增大一些，那么打板的优势会更加明显地体现。为此，我们不妨继续从出手投篮速度的角度探究打板球的优越性。首先列出一个直接投篮的篮球运动方程。令 表示直接投篮时的水平方向速度， 表示直接投篮竖1v 2v直方向上速度。 表示投篮到进球的时间， 为篮筐中心坐标，则t ),(yx221 1.0.0vvgt式表示篮球作斜抛运动水平方向上的运动时篮球能够落在篮筐范围内的限制条件；式表示篮球作斜抛运动竖直方向上的运动；式表示篮球
11、运动速度限制。运算过程中同样取v 最大为 12m/s。需要求出这个方程组和前一个方程组中速度的范围。这可以在程序中稍微加修改求出。因为我们只需要在程序中记录 v 的最大值和最小值。因为我们不考虑能量损失，如果投篮距离一样，无论从哪个角度打板，投篮速度都是相等的。计算程序同样见附录。结果列表比较如下：打板投篮和直接投篮的投篮出手速度范围比较单位：m/s距离 3m 5m 8m打板投篮速度范围 6.5512 7.8912 9.5912直接投篮速度范围 6.3612 7.7212 9.4412从上表可以看出，直接投篮与打板的出手速度范围相差不大。因此打板球的优势主要体现在增加了有效投篮面积上。这也从另
12、一个角度说明了为什么小角度投篮情况下打板投篮比较容易进球。而且可以明显地看出，出手速度是限制投篮的瓶颈。如果出手速度的范围能够再大一些，那么打板投篮会更容易进球。四、结论与启示1： 综上所述，打板球的确在某些情况下体现出了优越性。而且这种优越性体现在有效投篮面积上。当然，运动员并不会在什么情况下都会打板。因为打板没有一个确切的目标供运动员瞄准，这是它最大的弱点。在某些情况下，考虑心理，反应，习惯等诸多因素，运动员还是会使用直接投篮。但是这已经不在本文探讨的范畴之内，所以不再赘述。2：在这个问题中，我们首先把问题转化成了一个物理模型，随后再转化成了一个平面直角坐标系内的精确的数学方程组，最后用计
13、算机进行数值计算，使得用普通数学知识很难进行精确求解的问题得到了解决。这种学科间的交叉、配合很有启示意义。3：要有大胆的创造性思维。我们再研究问题的过程中，大胆地在篮板后面放上了一个虚拟篮筐，成功地把一个三维难题转化为一个二维问题，而且方便了运算。这样的思维对我们帮助很大。4：做生活中的有心人。在生活中发现问题，并加以主动探究，解决，可以极大地提高我们的学以致用的能力和学习兴趣。【参考文献】1 高中物理教科书 物理 必修 2 ， 上海科学技术出版社 2004 年出版。2 高级中学试验课本 物理第一册，人民教育出版社 1999 年出版。3 计算几何算法分析与设计 周培德 清华大学出版社 1999
14、 年出版。4 实用算法的分析与程序设计 吴文虎 清华大学出版社 1998 年出版。【附录】程序清单：(*)(* *)(* Rebound *)(* Copyright 04-2005 傅杰运 *)(* 海南省海南中学 *)(* *)(*)const vlimit = 12;type lyytype = recordx, y : real;end;var ba : lyytype;x, y, t, Ymax, Ymin : real;v1, v2, t2, tx, delta, Vmin, Vmax : real;dist, alpha : real;brk : boolean;beginwri
15、te( Input the distance from the basket: );readln( dist );write( Input the shooting angle: );readln( alpha );ba.x := dist + 0.17; ba.y := 1.05;x := dist; y := 1.05;Vmin := 1.0e10;Vmax := 0;repeatt := 0.1; brk := false;repeatv1 := x/t;v2 := (y+5*t*t)/t;delta := v2*v2-4*5*1.05;t2 := (-v2-sqrt(delta)/(-
16、10);tx := v1*t2;if ( sqr(v1)+sqr(v2) Vmaxthen Vmax := sqrt( sqr(v1)+sqr(v2) );end;t := t+0.01;until (t5)or(brk);if brk then if Ymin = 0 then Ymin := yelse Ymax := y;y := y+0.01;until y2.1;writeln( The valid shooting area: ,(Ymax-Ymin)*0.25/sin( alpha/180*pi ):0:2 );writeln( Velocity range of rebound
17、 shooting: , Vmin:0:2,Vmax:0:2 );x := dist-0.2; y := 1.05; Vmin := 1e10; Vmax := 0;repeatt := 0.1;repeatv1 := x/t;v2 := (y+5*t*t)/t;if (sqr(v1)+sqr(v2) Vmaxthen Vmax := sqrt( sqr(v1)+sqr(v2) );end;t := t+0.01;until t5;x := x+0.01;until xdist+0.3;writeln( Velocity range of direct shooting: , Vmin:0:2
18、,Vmax:0:2 );end.论文中部分数据在程序中的运行状况：距离为 5m，投篮角度 60 度：Input the distance from the basket: 5 (距离)Input the shooting angle:60 （角度）The valid shooting area:0.30 （有效投篮面积）Velocity range of rebound shooting: 7.8912.00 （打板出手速度范围）Energy needed for direct shooting: 7.7212.00 （直接投篮出手速度范围）距离为 8 米，投篮角度 30 度Input the distance from the basket: 8 (距离)Input the shooting angle:30 （角度）The valid shooting area:0.35 （有效投篮面积）Energy needed for rebound shooting: 9.5912.00 （打板出手速度范围）Energy needed for direct shooting: 9.4412.00 （直接投篮出手速度范围）
