1、1高考达标检测（四十六） 古典概型命题 2类型简单问题、交汇问题一、选择题1(2017天津高考)有 5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，则取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B.45 35C. D.25 15解析：选 C 从 5支彩笔中任取 2支不同颜色的彩笔，有 10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的 2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共 4种，故所求概率 P .410
2、252先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( )A. B.112 16C. D.14 13解析：选 C 骰子的点数为 1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为( x， y)，共有 6636 个，记两次点数之积为奇数的事件为 A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共 9个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为 P(A) .936 143高中数学联赛期间，某宾馆随机安排五名男生入住 3个标间(每个标间至多住 2人)，则 A， B入住同一标间的概率为( )A. B.110 1
3、5C. D.310 25解析：选 B 记 A， B入住同一标间的概率为 P，某宾馆随机安排五名男生入住 3个标间(每个标间至多住 2人)共有 A 90 种不同的方法， A， B入住同一标间有 C A 18C25C23A2 3 233种不同的方法， P .1890 1524(2018泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a， b， c，当且仅当 a b， b c时，称该三位自然数为“凹数”(如 213,312等)，若a， b， c1,2,3,4，且 a， b， c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A. B.16 524C. D.13 724解析：选 C 由 1,2,
4、3组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321，共 6个；同理由 1,2,4组成的三位自然数共 6个；由 1,3,4组成的三位自然数也是 6个；由 2,3,4组成的三位自然数也是 6个所以共有 4624 个当 b1 时，有 214,213,312,314,412,413，共 6个“凹数” ；当 b2 时，有 324,423，共 2个“凹数” 所以这个三位数为“凹数”的概率 P .6 224 135高考后，4 位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为( )A. B.18 38C. D.58 78解析：选 D 高考后，4 位考生各自在甲、
5、乙两所大学中任选一所参观，基本事件总数n2 416，甲、乙两所大学都有考生参观的对立事件是 4位考生都参观甲大学或 4位考生都参观乙大学，所以甲、乙两所大学都有考生参观的概率 P1 .116 116 786 a， b， c， d， e是从集合1,2,3,4,5中任取的 5个元素(不允许重复)，则 abc de为奇数的概率为( )A. B.12 415C. D.25 35解析：选 C 由题意可得 a， b， c， d， e是 1,2,3,4,5这 5个数，将这 5个数分组可得(123,45)，(124,35)，(125,34)，(134,25)，(135,24)，(145,23)，(234,15
6、)，(235,14)，(245,13)，(345,12)，共分 10组，其中能使 abc de为奇数的有(124,35)，(135,24)，(234,15)，(245,13)，共有 4组，所以 abc de为奇数的概率 P .410 2537抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为 a， b，则 0，即 ab.又( a， b)的取法共有 9种，其中满足 ab的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共 6种，故所求的概率 P .69 23二、填空题9若从正八边形的 8个顶点中随机选取 3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_解析：由任何
7、三点不共线，则共有 C 56 个三角形，8 个等分点可得 4条直径，可构38成直角三角形有 4624 个，所以构成直角三角形的概率 P .2456 37答案：3710从1,0,1,3,4 这五个数中任选一个数记为 a，则使曲线 y 的图象在第一、7 3ax4三象限，且满足不等式组Error!无解的概率为_解析：曲线 y 的图象在第一、三象限，且满足不等式组Error!无解，即7 3ax73 a0且 a3，所以 a ，所以 a可取1,0,1，由古典概型的概率公式，得 P .73 35答案：3511从 1(其中 m， n1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)x2m y2n方程中任取一
8、个，则此方程是焦点在 x轴上的双曲线方程的概率为_解析：当方程 1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有x2m y2nm0， n0，所以方程 1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的( m， n)有x2m y2n(2，1)，(3， 1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)， (3,3)，(1，1)，共 7种，其中表示焦点在 x轴上的双曲线时， m0， n0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共 4种，所以所求概率 P .47答案：4712设集合 A0,1,2， B0,1,2，分别从集合 A和 B中随机取一个数 a和 b，确定平面上一个点 P(a， b)，设“点 P(a，
9、 b)落在直线 x y n上”为事件Cn(0 n4， nN)，若事件 Cn的概率最大，则 n的值为_解析：由题意知，点 P的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共 9种当 n0 时，落在直线 x y0 上的点的坐标为(0,0)，共 1种；当 n1 时，落在直线 x y1 上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共 2种；当 n2 时，落在直线 x y2 上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共 3种；当 n3 时，落在直线 x y3 上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共 2种；当 n4 时，落
10、在直线 x y4 上的点的坐标为(2,2)，共 1种因此，当 Cn的概率最大时， n2.答案：2三、解答题13有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字 1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字已知 b和 c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x) x2 bx c(xR)(1)若先抛掷骰子得到的数字是 3，求再次抛掷骰子时，函数 y f(x)有零点的概率；5(2)求函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数的概率解：(1)记“函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点”为事件 A，由题意知， b3， c1,2,3,4,5,6，所有的基本事件为(3,1)，(3,
11、2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 6个当函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点时，方程 x2 bx c0 有实数根，即 b24 c0， c ， c1 或 2，94即事件 A包含 2个基本事件，函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点的概率 P(A) .26 13(2)由题意可知，所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(6,5)，(6,6)，共 36个记“函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数”为事件 B. y f(x)的图象开口向上，要想使函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数，只需 3 即
12、可，解得 b6， b6.b2事件 B包含的基本事件有 6个函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数的概率 P(B) .636 1614学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力学校对 10位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A， B， C三个等级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力 A B CA 2 2 0B 1 a 1C 0 1 b由于部分数据丢失，只知道从这 10位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为 C的学生的概率为 .310(1)求 a， b的值；(2)从测试成绩均为 A或 B的学生中任意抽取
13、 2位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 A的学生的概率6解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为 C的学生共有( b2)人，所以 ， a b3，解得 b1， a2.b 210 310(2)测试成绩均为 A或 B的学生共有 7人，其中语言表达能力和文字组织能力均为 B的有 2人，设为 b1， b2，其余 5人设为 a1， a2， a3， a4， a5.则基本事件空间 ( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a1， a5)，( a1， b1)，( a1， b2)，(a2， a3)，( a2， a4)，( a2， a5)，( a2， b1)，( a2，
14、 b2)，( a3， a4)，( a3， a5)，( a3， b1)，(a3， b2)，(a4， a5)，( a4， b1)，( a4， b2)，( a5， b1)，( a5， b2)，( b1， b2)所以基本事件空间总数为 21.选出的 2人语言表达能力和文字组织能力均为 B的有( b1， b2)所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 A的学生的概率 P1 .121 20211若 x A的同时，还有 A，则称 A是“好搭档集合” ，在集合 B1x的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )13， 12， 1， 2， 3A. B.731 732C. D.14 831
15、解析：选 A 由题意可得，集合 B的非空子集有 25131 个，其中是“好搭档集合”的有：1， ， ， ， ， ， ，共 7个，13， 312， 213， 1， 312， 1， 213， 12， 2， 313， 12， 1， 2， 3所以该集合是“好搭档集合”的概率为 P .7312 “累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为 50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示根据GB/T188012015空气净化器国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克) (3,5 (5,8 (8,12 12以上等级 P1 P2
16、P3 P47为了了解一批空气净化器(共 2 000台)的质量，随机抽取 n台机器作为样本进行估计，已知这 n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14中，按照(4,6，(6,8，(8,10，(10,12，(12,14均匀分组，其中累积净化量在(4,6的所有数据有：4.5,4.6,5.1,5.2,5.7和 5.9，并绘制了如下频率分布直方图(1)求 n的值及频率分布直方图中的 x值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共 2 000台)中等级为 P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6的样本中随机抽取 2台，求恰好有 1台等级为 P2的概率解：(1)在(4,6之间的数据一共有
17、 6个，再由频布直方图得，落在(4,6之间的频率为 0.0320.06， n 100.60.06由频率分布直方图的性质得：(0.03 x0.120.140.15)21，解得 x0.06.(2)由频率分布直方图可知，落在(6,8之间共 0.12210024 台，又在(5,6之间共 4台，落在(5,8之间共 28台，估计这批空气净化器(共 2 000台)中等级为 P2的空气净化器有 2 00056028100台(3)设“恰好有 1台等级为 P2”为事件 B，依题意落在(4,6之间共 6台，属于国标 P2级的有 4台，则从(4,6中随机抽取 2台，基本事件总数 nC 15，26事件 B包含的基本事件个数 mC C 8，12 14恰好有 1台等级为 P2的概率 P(B) .mn 815
