1、1“概率”双基过关检测一、选择题1从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少有 1 个白球，都是红球B至少有 1 个白球，至多有 1 个红球C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球D至多有 1 个白球，都是红球解析：选 C 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球共有三种可能：两个白球、两个红球、一个白球和一个红球，三者互斥， “至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件， “至少有 1 个白球”和“至多有 1 个红球”不互斥， “恰有 1 个白球”和“恰有 2个白球”互斥不对立，故选 C.2一批产品次品率为 4%，正品中一等品
2、率为 75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为( )A0.75 B0.71C0.72 D0.3解析：选 C 由题意可知，正品率为 96%，因为正品中一等品率为 75%，所以一等品率为 96%75%72%，所以任取一件产品，恰好是一等品的概率为 0.72.3如图，在一不规则区域内，有一边长为 1 m 的正方形，向区域内随机地撒 1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内 (含边界)的黄豆数为375，以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为( )A. m2 B2 m 283C. m2 D3 m 2163解析：选 A 由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到 ，S正 方 形S不
3、规 则 图 形 3751 000所以该不规则图形的面积大约为 (m2)1 000375 834抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为 6 的概率等于( )A. B.118 19C. D.16 5362解析：选 B 由题意抛掷两颗质地均匀的骰子，向上的点数所有可能情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种情况，其中点数之积为 6 的情况为(1,6)，(2,3)，(3,2)，(6,1)，共 4 种情况，故
4、所求概率为 P .436 195一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行” ，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A. B.827 127C. D.2627 1527解析：选 B 依题意，小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心且棱长为1 的小正方体内，这个小正方体的体积为 1，大正方体的体积为 3327，故根据几何概型得安全飞行的概率为 P .1276已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( )A0.4 B0.8C0.6 D1解析：选 C 标
5、记 5 件产品中的次品为 1,2，合格品为 3,4,5.从这 5 件产品中任取 2件，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，即基本事件的总数为 10.“从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品”的取法有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共 6 种取法，所以恰有一件次品的概率P 0.6.6107将一枚骰子连续抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b， c，则方程 x2 bx c0有实根的概率为( )A. B.13 12C. D.1936 25解析：选 C 将一枚骰
6、子连续抛掷两次共有 36 种结果方程 x2 bx c0 有实根，则 b24 c0，即 b2 ，c其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(4,4)，(5,4)，(6,4)，(5,5)，(6,5)，(5,6)，(6,6)，共 19 种，3由古典概型的概率计算公式可得 P .19368设实数 x， y 满足 x2( y1) 21，则 x y20 的概率为( )A. B.14 4C. D. 24 4 24解析：选 C 如图， x2( y1) 21 表示圆心为(0,1)，半径为 1
7、的圆面，面积为 ；同时， x y20 表示圆面内在 x y20 左上方的点构成的平面区域，连接 CB，则CA CB，阴影部分的面积为 11 ，由几何概型的概率公式得 P . 4 12 4 12 24二、填空题9点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧B的长度小于 1 的概率为_解析：如图，可设 B与 A的长度等于 1，则由几何概型可知其整体事件是其周长 3，则其概率是 .23答案：2310在圆 x2 y24 所围成的区域内随机取一个点 P(x， y)，则 |x| y|2 的概率为_解析：不等式| x| y|2 表示的平面区域如图中的阴影部分所 示，则| x
8、| y|2 的概率为 P . 22 2 22 2答案：211在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的 2 个红球和 1 个白球，从中随机摸出 1 个球后不放回，再从中随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为_解析：画树状图为：4共有 6 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为 2，则随机摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为 .13答案：1312高一年级某班有 63 名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的 ，则这个班的男生人1011数为_解析：根据题意，设该班的男生人数为 x，则女生人数为 63 x，因为每名学
9、生被选中是等可能的，根据古典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是 ， “选出的标兵是男生”的概率是 ，63 x63 x63故 ，解得 x33，故这个班的男生人数为 33.63 x63 1011 x63答案：33三、解答题13如图， A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060选择 L1的人数 6 12 18 12 12选择 L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落
10、在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允5许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由题意知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 121216444(人)，用频率估计相应的概率约为 0.44.(2)选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，由调查结果得：所用时间(分钟) 1020 2030 3040 4050 5060L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)A1， A2分别表示甲选择 L1， L2时
11、，在 40 分钟内赶到火车站；B1， B2分别表示乙选择 L1， L2时，在 50 分钟内赶到火车站由(2)知 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲应选择 L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B2)P(B1)，乙应选择 L2.14在某高校自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为 A， B， C， D， E 五个等级某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人(1)求该考场考生
12、中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数；(2)若等级 A， B， C， D， E 分别对应 5 分，4 分，3 分，2 分，1 分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为 A 的概率解：(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人，所以该考场有 40(人)，100.25所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753.6(2)由图知， “数学与逻辑”科目的成绩为
13、 D 的频率为10.20.3750.250.0750.1，故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为10.220.130.37540.2550.0752.9.(3)因为两科考试中，共有 6 个得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A，所以还有 2 人只有一个科目得分为 A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学，则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为 (甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，有 6 个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A 的为事件 B，所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个，则 P(B) .16
