1、1“空间向量”双基过关检测一、选择题1在空间直角坐标系中，点 P(m,0,0)到点 P1(4,1,2)的距离为 ，则 m的值为( )30A9 或 1 B9 或1C5 或5 D2 或 3解析：选 B 由题意 PP1 ，30即 ， m 4 2 1 2 2 2 30( m4) 225，解得 m9 或 m1.2已知 a( 1,0,2)，b(6,2 1,2 )，若 ab，则 与 的值可以是( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2解析：选 A ab，b ka，即(6,2 1,2 ) k( 1,0,2)，Error! 解得Error!或Error!3(2018揭阳期末)已知 a(2,3，4)，
2、b(4，3，2)， x2a，则b12x( )A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：选 B 由 b x2a，得 x4a2b(8,12，16)(8，6，4)12(0,6，20)4已知 a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6， )，若 a，b，c 三向量共面，则 ( )A9 B9C3 D3解析：选 B 由题意知 c xa yb，即(7,6， ) x(2,1，3) y(1,2,3)，Error! 解得 9.5在空间四边形 ABCD中， ( )AB CD AC DB AD BC A1 B0C1 D不确定解析：选 B 如图，令 a， b， c，AB AC AD
3、 2则 AB CD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba)a ca bb ab cc bc a0.6已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N分别是 OA， BC的中点，点 G在线段 MN上，且 2 ，现用基底 ， ， 表示向量 ，有MG GN OA OB OC OG x y z ，则 x， y， z的值分别为( )OG OA OB OC A. ， B. ，1613 13 1313 16C. ， D. ，1613 12 1213 16解析：选 A OG OM MG 12OA 23MN ( )12OA 23 ON OM 12OA 23 ，16OA 13OB 1
4、3OC x ， y ， z .16 13 137.如图所示，在大小为 45的二面角 AEFD中，四边形ABFE， CDEF都是边长为 1的正方形，则 B， D两点间的距离是( )A. B.3 2C1 D. 3 2解析：选 D ，BD BF FE ED | |2| |2| |2| |22 2 2 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED 111 3 ，故| | .2 2 BD 3 28(2018东营质检)已知 A(1,0,0)， B(0，1,1)， 与 的夹角为OA OB OB 120，则 的值为( )A B.66 663C D66 6解析：选 C 因为 (1， ， )，OA
5、OB 所以 cos 120 ，得 . 1 2 22 12 66经检验 不合题意，舍去，所以 .66 66二、填空题9已知 2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b，c 为方向向量的两直线的夹角为_解析：由题意得，(2ab)c0102010.即 2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c ，bc|b|c| 18121 4 4 12b，c120，两直线的夹角为 60.答案：6010在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N分别是棱 AA1， BB1的中点，则sin ， _.CM D1N 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 C(0,2,
6、0)， M(2，0,1)， D1(0,0,2)， N(2,2,1)可知 (2，2,1)，CM (2,2，1)，D1N 22(2)21(1)1，CM D1N | |3，| |3，CM D1N cos ， ，CM D1N 19sin ， .CM D1N 459答案：45911已知点 O为空间直角坐标系的原点，向量 (1,2,3)， (2,1,2)，OA OB 4(1,1,2)，且点 Q在直线 OP上运动，当 取得最小值时， 的坐标是OP QA QB OQ _解析：点 Q在直线 OP上，设点 Q( ， ，2 )，则 (1 ，2 ，32 )， (2 ，1 ，22 )，QA QB (1 )(2 )(2
7、)(1 )(32 )(22 )QA QB 6 216 106 2 ，当 时， 取得最小值 ，此时 ( 43) 23 43 QA QB 23 OQ .(43， 43， 83)答案： (43， 43， 83)12在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC ， AB AC AA11，已知 G和 E分别为 A1B12和 CC1的中点， D与 F分别为线段 AC和 AB上的动点(不包括端点)，若 GD EF，则线段 DF的长度的取值范围为_解析：设 AFa， ADb，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， E ， G ， F(a,0,0)， D(0，b ,0)，(0， 1，12) (12，
8、 0， 1) ， ， (a，b ,0)GD ( 12， b， 1) EF DF 因为 GD EF，所以 ， 0，GD EF GD EF 所以 ab 0，即 a2b10，12 12所以| DF| a2 b2 5b2 4b 1 .5(b 25)2 15由题意得，a12b0，所以 0b ，12所以 DF1.55答案： 55， 1)三、解答题513.如图所示，已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于a，点 M， N分别是 AB， CD的中点(1)求证： MN AB；(2)求 MN的长；(3)求异面直线 AN与 CM所成角的余弦值解：(1)证明：设 p， q， r.AB AC AD 由题意可知，
9、|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为 60. ( ) (qrp)，MN AN AM 12 AC AD 12AB 12 (qrp)p (qprpp 2)MN AB 12 12 (a2cos 60a 2cos 60a 2)0.12 ，即 MN AB.MN AB (2)由(1)可知 (q r p)，MN 12| |2 (q r p)2MN 14 q2 r2 p22( qr pq rp)1414a2 a2 a2 2(a22 a22 a22) 2a2 .14 a22| | a， MN的长为 a.MN 22 22(3)设向量 与 的夹角为 .AN MC ( ) (q r)，AN 12 AC
10、 AD 12 q p，MC AC AM 12 (q r)AN MC 12 (q 12p)12(q2 12qp rq 12rp)12(a2 12a2cos 60 a2cos 60 12a2cos 60)6 .12(a2 a24 a22 a24) a22又| | | a，AN MC 32 | | |cos a acos .AN MC AN MC 32 32 a22cos ，向量 与 的夹角的余弦值为 .23 AN MC 23因此异面直线 AN与 CM所成角的余弦值为 .2314(2017全国卷)如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD CBD， AB BD.(1
11、)证明：平面 ACD平面 ABC；(2)过 AC的平面交 BD于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 DAEC的余弦值解：(1)证明：由题设可得， ABD CBD，从而 AD DC.又 ACD是直角三角形，所以 ADC90.取 AC的中点 O，连接 DO， BO，则 DO AC， DO AO.又因为 ABC是正三角形，所以 BO AC.所以 DOB为二面角 DACB的平面角在 Rt AOB中， BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.所以平面 ACD平面 ABC.(2)由题设及(1)知， O
12、A， OB， OD两两垂直以 O为坐标原点，的方向为 x轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空OA OA 间直角坐标系 Oxyz，则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(1,0,0)，3D(0,0,1)由题设知，四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的 ，12从而 E到平面 ABC的距离为 D到平面 ABC的距离的 ，12即 E为 DB的中点，得 E .(0，32， 12)7故 (1,0,1)， (2,0,0)，AD AC .AE ( 1， 32， 12)设 n( x1， y1， z1)是平面 DAE的法向量，则 即Error!可取 n .(1，33， 1)设 m( x2， y2， z2)是平面 AEC的法向量，则 即Error!可取 m(0，1， )3则 cos n， m .nm|n|m| 33 3213 2 77由图知二面角 DAEC为锐角，所以二面角 DAEC的余弦值为 .77
