1、1高考达标检测（十九） 正、余弦定理的 3 个基础点边角、形状和面积一、选择题1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a1， b ， A30，若3B 为锐角，则 A B C( )A113 B123C132 D141解析：选 B 因为 a1， b ， A30， B 为锐角，所以由正弦定理可得 sin B3 ，则 B60，所以 C90，则 A B C123.bsin Aa 322如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是( )A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D根据增加的长度确定三角形的形状解析：选 A 设原来直角三角形的三边长是 a， b， c 且
2、a2 b2 c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为 d，原来的斜边仍然是最长的边，故 cos A 0，所以新三角形中最大的角是 b d 2 c d 2 a d 22 b d c d 2bd 2cd d2 2ad2 b d c d一个锐角，故选 A.3(2018太原模拟)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若b2 c2 a2 bc，且 b a，则下列关系一定不成立的是 ( )3 3A a c B b cC2 a c D a2 b2 c2解析：选 B 由余弦定理，得 cos A ，则 A30.又b2 c2 a22bc 3bc2bc 32b a，由
3、正弦定理得 sin B sin A sin 30 ，所以 B60或 120.当3 3 332B60时， ABC 为直角三角形，且 2a c，可知 C、D 成立；当 B120时， C30，所以 A C，即 a c，可知 A 成立，故选 B.4在直角梯形 ABCD 中， AB CD， ABC90， AB2 BC2 CD，则 cos DAC( )A. B.1010 31010C. D.55 2552解析：选 B 如图所示，设 CD a，则易知 AC a， AD a，在 ACD 中，5 2CD2 AD2 AC22 ADACcos DAC， a2( a)2( a)2 522 a acos DAC，cos
4、 DAC .2 5310105在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为 S，且2S( a b)2 c2，则 tan C 等于( )A. B.34 43C D43 34解析：选 C 因为 2S( a b)2 c2 a2 b2 c22 ab，则由面积公式与余弦定理，得 absin C2 abcos C2 ab，即 sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即 4，sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C所以 4，tan2C 4tan C 4tan2C 1解得 tan C 或 tan C0(舍去)436
5、在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足b2 c2 a2 bc， 0， a ，则 b c 的取值范围是( )AB BC 32A. B.(1，32) (32， 32)C. D.(12， 32) (12， 32解析：选 B 在 ABC 中， b2 c2 a2 bc，由余弦定理可得 cos A ，b2 c2 a22bc bc2bc 12 A 是 ABC 的内角， A60. a ，32由正弦定理得 1，asin A bsin B csin C csin 120 B b csin Bsin(120 B) sin B cos B32 323 sin(B30)3 | | |
6、cos( B)0，AB BC AB BC cos B0，所以 c3.故 ABC 的面积 S bcsin A .12 332法二：由正弦定理，得 ，从而 sin B ，7sin 3 2sin B 217又由 ab，知 AB，所以 cos B .277故 sin Csin( A B)sin sin Bcos cos Bsin .(B 3) 3 3 32114所以 ABC 的面积 S absin C .12 33212在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，sin B(acos B bcos A) ccos B.3(1)求 B；(2)若 b2 ， ABC 的面积为 2
7、，求 ABC 的周长3 3解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A) sin Ccos B，3sin Bsin(A B) sin Ccos B，3sin Bsin C sin Ccos B.3sin C0，sin B cos B，即 tan B .3 3 B(0，)， B . 3(2) S ABC acsin B ac2 ， ac8.12 34 3根据余弦定理得， b2 a2 c22 accos B，12 a2 c28，即 a2 c220， a c 6， a c 2 a2 2ac c2 ABC 的周长为 62 .31在平面五边形 ABCDE 中，已知 A12
8、0， B90， C120， E90，6AB3， AE3，当五边形 ABCDE 的面积 S 时，则 BC 的取值范围为_63，3334 )解析：因为 AB3， AE3，且 A120，由余弦定理可得 BE 3 ，且 ABE AEB30.AB2 AE2 2ABAEcos A 3又 B90， E90，所以 DEB EBC60.又 C120，所以四边形 BCDE 是等腰梯形易得三角形 ABE 的面积为 ，934所以四边形 BCDE 的面积的取值范围是 .1534 ， 63)在等腰梯形 BCDE 中，令 BC x，则 CD3 x，且梯形的高为 ，33x2故梯形 BCDE 的面积为 (3 3 x) ，12
9、3 3 3x2即 15(6 x)x24，3解得 x2 或 4 x5 .3 3 3 3答案： ，2 )(4 ，5 3 3 3 32.如图，有一直径为 8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是 ECF ，点 E， F 在直径 AB 上，且 ABC . 6 6(1)若 CE ，求 AE 的长；13(2)设 ACE ，求该空地种植果树的最大面积解：(1)由已知得 ABC 为直角三角形，因为 AB8， ABC ， 6所以 BAC ， AC4. 3在 ACE 中，由余弦定理得， CE2 AC2 AE22 ACAEcos A
10、，且 CE ，13所以 1316 AE24 AE，解得 AE1 或 AE3.(2)因为 ACB ， ECF ， 2 6所以 ACE ，0， 3所以 AFC BAC ACF ， 3 ( 6) 27在 ACF 中，由正弦定理得 ，CFsin BAC ACsin AFC ACsin( 2 ) ACcos 所以 CF ，23cos 在 ACE 中，由正弦定理得 ，CEsin BAC ACsin AEC ACsin( 3 )所以 CE ，23sin( 3 )所以 S ECF CECFsin ECF .12 3sin( 3 )cos 122sin(2 3) 3因为 ，所以 2 ，0， 3 3 3所以 0sin 1，(2 3)所以当 sin 0，即 时， S ECF取得最大值为 4 .(2 3) 3 3即该空地种植果树的最大面积为 4 m2.3
