1、1高考达标检测（二十七） 简单的线性规划问题一、选择题1若 O 为坐标原点，实数 x， y 满足条件Error!在可行域内任取一点 P(x， y)，则| OP|的最小值为( )A1 B. 3C. D.22 32解析：选 C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知| OP|的最小值为点 O 到直线 x y1 的距离，所以| OP|的最小值为 .222(2017山东高考)已知 x， y 满足约束条件Error!则 z x2 y 的最大值是( )A0 B2 C5 D6解析：选 C 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线 y 进行平移，显然当该直线过点 A 时 z 取得最大值
2、，x2 z2由Error! 解得Error!即 A(3,4)，所以 zmax385.3已知 x， y 满足Error!则 z8 x y的最小值为( )(12)A1 B.324C. D.116 132解析：选 D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z8 x y 23 x y，欲使 z 最小，只需使3 x y 最小即可由图(12)知当 x1， y2 时，3 x y 的值最小，且3125，此时23 x y最小，最小值为 .13224(2017浙江高考)若 x， y 满足约束条件Error!则 z x2 y 的取值范围是( )A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：选 D 作出不等式组所表
3、示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z x2 y，得 y x ，12 z2 是直线 y x 在 y 轴上的截距，z2 12 z2根据图形知，当直线 y x 过 A 点时， 取得最小值12 z2 z2由Error! 得 x2， y1，即 A(2,1)，此时， z4， z x y 的取值范围是4，)5已知不等式组Error!表示的平面区域为 M，若直线 y kx3 k 与平面区域 M 有公共点，则 k 的取值范围是( )A. B.13， 0 ( ， 13C. D.(0，13 ( ， 13解析：选 A 画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线 y kx3 k 过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率
4、的最大值为 k0，最小值为 k ，0 13 0 13所以 k 的取值范围是 .13， 06设变量 x， y 满足约束条件Error!则 S 的取值范围是( )y 1x 1A. B.1，32 12， 1C. D1,212， 2解析：选 C 作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是 A(1,0)， B(0,1)， C(2，2) S 表示可行域内y 1x 1的点与定点 P(1，1)连线的斜率，则 Smin kPA ， Smax kPB2.127(2018大连期末)已知点 P 的坐标( x， y)满足Error!过点 P 的直线 l 与圆C： x2 y214 相交于 A， B 两点，则| A
5、B|的最小值是( )3A2 B46C. D26解析：选 B 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点 P 到圆心的距离为 d，求最短弦长，等价于求到圆心距离 d 最大的点，即为图中的 P 点，其坐标为(1,3)，则 d ，此时1 32 10|AB|min2 4.14 108已知点 M(a， b)与点 N(0，1)在直线 3x4 y50 的两侧，给出以下结论：3 a4 b50；当 a0 时， a b 有最小值，无最大值； a2 b21；当 a0 且 a1 时， 的取值范围是 .b 1a 1 ( ， 94) (34， )正确的个数是( )A1 B2C3 D4解析：选 B 因为点 M(a，
6、b)与点 N(0，1)在直线3x4 y50 的两侧，所以 9(3a4 b5)0，即3a4 b50，故错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当 a0 时，由图知， a b 无最小值，也无最大值，故错误；3 a4 b50)的最大距离为 2 ，则实数 k_.2解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线 y kx1( k0)的距离最大，所以2 ，又 k0，得 k1.|0k 3 1|k2 1 2答案：112设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数z ax by(a0， b0)的最大值为 10
7、，则 a2 b2的最小值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线 z ax by 过点 A(4,6)时，取得最大值 10，即2a3 b5，而 a2 b2表示原点(0,0)与直线 2a3 b5 上的点的距离的平方，显然 a2 b2的最小值为原点到直线 2a3 b5 的距离的平方，又原点到直线 2a3 b5 的距离 d ，所以 a2 b2的最小值为 .513 2513答案：2513三、解答题13(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分
8、钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时5间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x， y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用 x， y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知， x， y 满足的数学关系式为Error!即 Error!该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为 z 万，则
9、目标函数为 z60 x25 y.考虑 z60 x25 y，将它变形为 y x ，这是斜率为 ，随 z 变化的一族平125 z25 125行直线. 为直线在 y 轴上的截距，当 取得最大值时， z 的值最大z25 z25又因为 x， y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z60 x25 y 经过可行域上的点 M时，截距 最大，即 z 最大z25解方程组Error!得点 M 的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多14投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目根据预测，甲、乙项目可能的
10、最大盈利率分别为 50%和40%，可能的最大亏损率分别为 30%和 20%.投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 2.4 万元设甲、乙两个项目投资额分别为 x， y 万元(1)写出 x， y 满足的约束条件；(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)6解：(1) x， y 满足约束条件为Error!(2)设目标函数 z0.5 x0.4 y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 l0：0.5 x0.4 y0，当经过点 M 时， z0.5 x0.4 y 取得最大值解方程组Error!得 x4， y6.此时 zmax0.540.464.4(万元)1已知 x
11、， y 满足约束条件Error!当目标函数 z ax by(a0， b0)在该约束条件下取得最小值 1 时，( a1) 2( b1) 2的最小值为( )A. B.110 1010C. D.31010 910解析：选 D 作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，把 z ax by(a0， b0)化为 y x ，ab zb由图可知，当直线 y x 过点 A 时，直线在 y 轴上的截距最ab zb小， z 有最小值 1，联立Error! 解得 A(3,1)，所以 3a b1，因为 a0， b0，所以 0 a .13则( a1) 2( b1) 2( a1) 29 a210 a22 a110 2 .
12、(a110) 910则当 a 时，( a1) 2( b1) 2取得最小值，最小值为 .110 9102在平面直角坐标系中，点 P 是由不等式组Error!所确定的平面区域内的动点， M， N是圆 x2 y21 的一条直径的两端点，则 PM PN 的最小值为( )A4 B2 127C4 D72解析：选 D 因为 M， N 是圆 x2 y21 的一条直径的两端点，所以可设 M(a， b)， N( a， b)，则 a2 b21.设 P(x， y)，则 ( a x， b y)( a x， b y)PM PN x2 a2 y2 b2 x2 y21，设 z x2 y2，则 z 的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示则原点到直线 x y40 的距离最小，此时 d 2 ，则 z d28，|0 0 4|2 2则 P x2 y21817.PM PN
