1、1课时跟踪检测（三） 充分条件与必要条件层级一 学业水平达标1设 an是公比为 q的等比数列，则“ q1”是“ an为递增数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选 D 当数列 an的首项 a10 时，若 q1，则数列 an是递减数列；当数列an的首项 a10 时，要使数列 an为递增数列，则 0 q1，所以“ q1”是“数列 an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选 D.2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
2、C丙是甲的充要条件D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选 A 因为甲是乙的必要条件，所以乙甲又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙乙，但乙丙，如图综上，有丙甲，但甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件3设 a， b都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是( )a|a| b|b|A a b B abC a 2b D ab 且 |a| |b|解析：选 C 对于 A，当 a b时， ；对于 B，注意当 a b时， 与 可a|a| b|b| a|a| b|b|能不相等；对于 C，当 a2 b时， ；对于 D，当 a b，且 |a| |b|时，可a|a| 2b|
3、2b| b|b|能有 a b，此时 .综上所述，使 成立的充分条件是 a2 b. a|a| b|b| a|a| b|b|4设 R，则“ 0”是“ f(x)cos( x )(xR)为偶函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件2D既不充分也不必要条件解析：选 A 0 时，函数 f(x)cos( x )cos x是偶函数，而 f(x)cos( x )是偶函数时， k( kZ)故“ 0”是“函数 f(x)cos( x )为偶函数”的充分不必要条件5使| x| x成立的一个必要不充分条件是( )A x0 B x2 xClog 2(x1)0 D2 xa，若 p是 q的充分不必要条件，则
4、 a的取值范围是_解析： p： x1，若 p是 q的充分不必要条件，则 pq，但 ，也就是说， p对应集合qp是 q对应集合的真子集，所以 a2且 y3”是“ x y5”的充要条件； b24 ac2且 y3时， x y5成立，反之不一定，如 x0， y6.所以“ x2且y3”是“ x y5”的充分不必要条件；不等式解集为 R的充要条件是 a0， y0.所以“lg xlg y0”成立， xy1 必成立，反之不然因此“ xy1”是“lg xlg y0”的必要不充分条件综上可知，真命题是.答案：9下列命题中，判断条件 p是条件 q的什么条件(1)p：| x| y|， q： x y；(2)p： ABC
5、是直角三角形， q： ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分， q：四边形是矩形；(4)p：圆 x2 y2 r2与直线 ax by c0 相切， q： c2( a2 b2)r2.解：(1)| x| y| x y，但 x y|x| y|， p是 q的必要不充分条件(2) ABC是直角三角形 ABC是等腰三角形， ABC是等腰三角形 ABC是直角三角形， p是 q的既不充分也不必要条件(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分， p是 q的必要不充分条件(4)若圆 x2 y2 r2与直线 ax by c0 相切，则圆心到直线 ax by c0 的距
6、离等于 r，即 r ，|c|a2 b2所以 c2( a2 b2)r2；反过来，若 c2( a2 b2)r2，则 r成立，|c|a2 b2说明 x2 y2 r2的圆心(0,0)到直线 ax by c0 的距离等于 r，即圆 x2 y2 r2与直线 ax by c0 相切，故 p是 q的充要条件10已知数列 an的前 n项和 Sn pn q(p0 且 p1)，求证：数列 an为等比数列的充要条件为 q1.证明：(1)充分性：当 q1 时， a1 p1.当 n2 时， an Sn Sn1 pn1 (p1)当 n1 时，上式也成立于是 p，即数列 an为等比数列an 1an pn p 1pn 1 p
7、14(2)必要性：当 n1 时， a1 S1 p q.当 n2 时， an Sn Sn1 pn1 (p1) p0 且 p1， p.an 1an pn p 1pn 1 p 1因为 an为等比数列，所以 p ， q1.a2a1 an 1an p p 1p q即数列 an为等比数列的充要条件为 q1.层级二 应试能力达标1 “0 b”的( )(13) (13)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 0 b成立，所以是充分条件；当 a b时，有 a0”是“ x1”的必要条件B已知向量 m， n，则“ mn ”是“ m n”的充分条件C “a4b4”是“ a
8、b”的必要条件D在 ABC中， “ab”不是“ AB”的充分条件解析：选 A A 中，当 x1时，有 x0，所以 A正确；B 中，当 mn 时， m n不一定成立，所以 B不正确；C 中，当 ab时， a4b4不一定成立，所以 C不正确；D 中，当 ab时，有 AB，所以“ ab”是“ AB”的充分条件，所以 D不正确故选 A.4设 p： x1； q：( x a)(x a1)0，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a12的取值范围是( )5A. B.(0，12) 0， 12C. D.0，12) (0， 12解析：选 B q： a x a1， p是 q的充分不必要条件，Error! 解得 0
9、a .故选 B.125已知关于 x的方程(1 a)x2( a2) x40( aR)，则该方程有两个正根的充要条件是_解析：方程(1 a)x2( a2) x40 有两个实根的充要条件是Error!即Error! Error!设此时方程的两根分别为 x1， x2，则方程有两个正根的充要条件是Error!Error!10，解得10， q： x22 x1 a20.若 p是 q的充分条件，求正实数 a的取值范围解：不等式 x28 x200 的解集为A x|x10或 x0的解集为B x|x1 a或 x0依题意 pq，所以 AB.于是有Error! 解得 0a3.所以正实数 a的取值范围是(0,38求二次函数 y x2 mx1 的图象与两端点为 A(0,3)， B(3,0)的线段 AB有两个不同的交点的充要条件解：线段 AB的方程为 x y3，由题意得方程组Error!在0,3上有两组实数解，将6代入，得 x2( m1) x40(0 x3)，此方程有两个不同的实数根，令 f(x) x2( m1) x4，则二次函数 f(x)在 x0,3上有两个实根，故有：Error! 解得 3m ，103故 m的取值范围是 .(3，103
